數學解題思維培養的論文

[摘要]本文主要如何透過運用構造法解題，激發學生的發散思維訓練，使學生在解題過程，選擇最佳的解題方法，從而使學生思維和解題能力得到培養。

[關鍵詞]構造創新

什麼是構造法又怎樣去構造？構造法是運用數學的基本思想經過認真的觀察，深入的思考，構造出解題的數學模型從而使問題得以解決。構造法的內涵十分豐富，沒有完全固定的模式可以套用，它是以廣泛抽象的普遍性與現實問題的特殊性爲基礎，針對具體的問題的特點而採取相應的解決辦法，及基本的方法是：借用一類問題的性質，來研究另一類問題的思維方法。在解題過程中，若按習慣定勢思維去探求解題途徑比較困難時，可以啓發學生根據題目特點，展開豐富的聯想拓寬自己思維範圍，運用構造法來解題也是培養學生創造意識和創新思維的手段之一，同時對提高學生的解題能力也有所幫助，下面我們透過舉例來說明透過構造法解題訓練學生髮散思維，謀求最佳的解題途徑，達到思想的創新。

1、構造函數

函數在我們整個中學數學是佔有相當的內容，學生對於函數的性質也比較熟悉。選擇爛熟於胸的內容來解決棘手問題，同時也達到了訓練學生的思維，增強學生的思維的靈活性，開拓性和創造性。

例1、已知a，b，m∈R+，且a<b求證：（高中代數第二冊P91）

分析：由知，若用代替m呢？可以得到是關於的分式，若我們令是一個函數，且∈R+聯想到這時，我們可以構造函數而又可以化爲而我們又知道在[0，∞]內是增函數，從而便可求解。

證明：構造函數在[0，∞]內是增函數，

即得。有些數學題似乎與函數毫不相干，但是根據題目的特點，巧妙地構造一個函數，利用函數的性質得到了簡捷的證明。解題過程中不斷挖掘學生的潛在意識而不讓學生的思維使注意到某一點上，把自己的解題思路擱淺了。啓發學生思維多變，從而達到培養學生髮散思維。

例2、設是正數，證明對任意的自然數n，下面不等式成立。

≤

分析：要想證明≤只須證明

≤0即證

≥0也是

≥0對一切實數x都成立，我們發現是不是和熟悉的判別式相同嗎？於是我們可以構造這樣的二次函數來解題是不是更有創造性。

解：令

只須判別式△≤0，△=≤0即得

≤

這樣以地於解決問題是很簡捷的證明透過這樣的知識轉移，使學生的思維不停留在原來的知識表面上，加深學生對知識的理解，掌握知識更爲牢固和知識的運用能力。有利於培養學生的創新意識。

2、構造方程

有些數學題，經過觀察可以構造一個方程，從而得到巧妙簡捷的解答。

例3、若(Z-X)2-4(X-Y)(Y-Z)=0求證：X，Y，Z成等差數列。

分析：拿到題目感到無從下手，思路受阻。但我們細看，題條件酷似一元二次方程根的判別式。這裏a=x-y，b=z-x，c=y-z，於是可構造方程由已知條件可知方程有兩個相等根。即∴。根據根與係數的關係有即z–y=y-x，x+z=2y

∴x，y，z成等差數列。遇到較爲複雜的方程組時，要指導學生會把難的先簡單化，可以構造出我們很熟悉的方程。

例4、解方程組我們在解這個方程組的過程中，如果我們用常規方法來解題就困難了，我們避開這些困難可把原方程化爲：

於是與可認爲是方程兩根。易求得再進行求解(1)或(2)

由(1)得此時方程無解。

由(2)得解此方程組得：經檢驗得原方程組的解爲：

透過上面的例子我們在解題的過程中要善於觀察，善於發現，在解題過程中不墨守成規。大膽去探求解題的最佳途徑，我們在口頭提到的創新思維，又怎樣去創新?創新思維是整個創新活動的關鍵，敏銳的觀察力，創造性的想象，獨特的'知識結構及活躍的靈感是其的基本特徵。這種創新思維能保證學生順利解決問題，高水平地掌握知識並能把知識廣泛地運用到解決問題上來，而構造法正從這方面增訓練學生思維，使學生的思維由單一型轉變爲多角度，顯得積極靈活從而培養學生創新思維。

在解題的過程中，主要是把解題用到的數學思想和方法介紹給學生，而不是要教會學生會解某一道題，也不是爲解題而解題，給他們學會一種解題的方法纔是有效的"授之以魚，不如授之以漁"。在這我們所強調的發現知識的過程，創造性解決問題的方法而不是追求題目的結果。運用構造方法解題也是這樣的，透過講解一些例題，運用構造法來解題的技巧，探求過程中培養學生的創新能力。

華羅庚：“數離開形少直觀，形離開數難入微。”利用數形結合的思想，可溝通代數，幾何的關係，實現難題巧解。

　3.構造複數來解題

由於複數是中學數學與其他內容聯繫密切最爲廣泛的一部分，因而對某些問題的特點，可以指導學生從複數的定義性質出發來解決一些數學難題。

例5、求證：≥

分析：本題的特點是左邊爲幾個根式的和，因此可聯繫到複數的模，構造複數模型就利用複數的性質把問題解決。

證明：設z1=a+biz2=a+(1-b)iz3=(1-a)+(1+b)iz4=(1–a)+bi

則左邊=|z1|+|z2|+|z3|+|z4|

≥|z1+z2+z3+z4|

≥|2+2i|=

即≥

例6、實數x，y，z，a，b，c，滿足

且xyz≠0求證：

透過入微觀察，結合所學的空間解析幾何知識,可以構造向量

聯想到≤結合題設條件

可知，向量的夾角滿足，這兩個向量共線，又xyz≠0

所以

利用向量等工具巧妙地構造出所證明的不等式的幾何模型，利用向量共線條件，可解決許多用普通方法難以處理的問題對培養學生創新思維十分有益。

　4.構造幾何圖形

對於一些題目，可藉助幾何圖形的特點來達到解題目的，我們可以構造所需的圖形來解題。

例7、解不等式||x-5|-|x+3||<6

分析：對於這類題目的一般解法是分區間求解，這是比較繁雜的。觀察本題條件可構造雙曲線，求解更簡捷。

解：設F(-3，0)F(5，0)則|F1F2|=8，F1F2的中點爲O`(1，0)，又設點P(x，0)，當x的值滿足不等式條件時，P點在雙曲線的內部

∴1-3<x<1+3即-2<x<4是不等式的解。

運用構造法就可以避免了煩雜的分類討論是不是方便得多了，引導學生掌握相關知識運用到解決問題上來。

又如解不等式：

分析：若是按常規的解法，必須得進行分類討論而非常麻煩的，觀察不等式特點，聯想到雙曲線的定義，卻''柳暗花明又一村"可把原不等式變爲

令則得由雙曲線的定義可知，滿足上面不等式的(x，y)在雙曲線的兩支之間區域內，因此原不等式與不等式組：同解

所以不等式的解集爲：。利用定義的特點，把問題的難點轉化成簡單的問題，從而使問題得以解決。

在不少的數學競賽題，運用構造來解題構造法真是可見一斑。

例8、正數x，y，z滿足方程組：

試求xy+2yz+3xz的值。

分析：認真觀察發現5，4，3可作爲直角三角形三邊長，並就每個方程考慮餘弦定理，進而構造圖形直角三角形ABC，∠ACB=90°三邊長分別爲3，4，5，∠COB=90°

∠AOB=150°並設OA=x，OB=，，則x，y，z，滿足方程組，由面積公式得：S1+S2+S3=

即得：xy+2yz+3xz=24

又例如：a，b，c爲正數求證：≥由是a，b，c爲正數及等，聯想到直角三角形又由聯繫到可成爲正方形的對角線之長，從而我們可構造圖形求解。

透過上述簡單的例子說明了，構造法解題有着在你意想不到的功效，問題很快便可解決。可見構造法解題重在“構造”。它可以構造圖形、方程、函數甚至其它構造，就會促使學生要熟悉幾何、代數、三角等基本知識技能並多方設法加以綜合利用，這對學生的多元思維培養學習興趣的提高以及鑽研獨創精神的發揮十分有利。因此，在解題教學時，若能啓發學生從多角度，多渠道進行廣泛的聯想則能得到許多構思巧妙，新穎獨特，簡捷有效的解題方法而且還能加強學生對知識的理解，培養思維的靈活性，提高學生分析問題的創新能力。

參考文獻：

[1]劉明：中學數學教學如何實施創新教育四川教育學院學報2003.12

[2]丘瑞立：中學數學方法論廣西教育出版社19988

[3]趙春祥：淺談構造數學模型解題數理化學習1994.8