關於應用舉例的測試題

一、選擇題

1.飛機沿水平方向飛行，在處測得正前下方地面目標的俯角爲，向前飛行米，到達處，此時測得目標的俯角爲，這時飛機與地面目標的直線距離爲( ).

A.米 B.米 C.米 D.米

考查目的：考查正弦定理的應用.

答案：B.

解析：如圖，在中，根據正弦定理得，解得(米).

2.某人向正東方向走，然後右轉，朝前走，結果他離出發點恰好，則的值爲( ).

A. B. C.或 D.

考查目的：考查餘弦定理、方程思想.

答案：C.

解析：根據餘弦定理得，化簡併整理得，解得或.

3. (由2010浙江文改編)在中，角所對的邊分別爲，設爲的面積，滿足，則角的大小爲( ).

A. B. C.或 D.或

考查目的：考查餘弦定理、三角形面積公式、三角變換等基礎知識.

答案：B

解析：∵，∴根據餘弦定理和三角形面積公式得，∴，.

二、填空題

4.(2008江蘇卷)在中，若，，則的最大值是 .

考查目的：考查三角形面積公式、餘弦定理以及函數思想．

答案：.

解析：設，則，根據面積公式得；根據餘弦定理得，∴，

由三角形三邊關係有，解得，故當時，取得最大值.

5.(2011安徽理)已知的'一個內角爲，並且三邊長構成公差爲4的等差數列，則的面積爲_______________.

考查目的：考查餘弦定理、等差數列的概念及三角形面積公式.

答案：.

解析：根據題意，可設的三邊長分別爲，由得.由余弦定理得，解得(捨去)，∴

6.如圖，某炮兵陣地位於點，兩觀察所位於兩點，已知爲正三角形，且，當目標出現在時，測得，則炮兵陣地與目標的距離約爲 (精確到).

考查目的：考查利用正弦定理、餘弦定理解決實際問題的能力.

答案：.

解析：如圖，，在中，由正弦定理得，∴.在中，，由余弦定理得

三、解答題：

7.(2007海南、寧夏)如圖，測量河對岸的塔高時，可以選與塔底在同一水平面內的兩個側點與．現測得，，並在點測得塔頂的仰角爲，求塔高．

考查目的：考查正弦定理、直角三角形的邊角關係以及空間想象能力和運算求解能力.

答案：.

解析：在中，．由正弦定理得，∴.在中，．

8.(2010福建理)某港口要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上. 在小艇出發時，輪船位於港口北偏西且與該港口相距海里的處，並以海里/小時的航行速度沿正東方向勻速行駛. 假設該小船沿直線方向以海里/小時的航行速度勻速行駛，經過小時與輪船相遇.

⑴若希望相遇時小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應爲多少？

⑵假設小艇的最高航行速度只能達到海里/小時，試設計航行方案(即確定航行方向與航行速度的大小)，使得小艇能以最短時間與輪船相遇，並說明理由.

考查目的：考查利用直角三角形的邊角關係、餘弦定理解三角形，以及綜合運用知識分析問題解決問題的能力.

答案：⑴海里/小時，⑵航行方向是北偏東，航行速度爲海里/小時.

解析：(方法一)⑴設相遇時小艇航行的距離爲海里，則 ，∴當時，，此時，即小艇以海里/小時的速度航行，相遇時小艇的航行距離最小.

⑵設小艇與輪船在處相遇，則，∴. ∵，∴，即，解得.又∵時，，故時，取得最小值，且最小值等於.

此時，在中，有，故可設計航行方案如下：航行方向是北偏東，航行速度爲海里/小時，這樣，小艇能以最短時間與輪船相遇.

(方法二)⑴若相遇時小艇的航行距離最小，又輪船沿正東方向勻速行駛，則小艇航行方向爲正北方向，設小艇與輪船在處相遇. 在中，，；又，，此時，輪船航行時間，即小艇以海里/小時的速度航行，相遇時小艇的航行距離最小.

⑵猜想時，小艇能以最短時間與輪船在處相遇，此時.又∵，∴，解得.

據此可設計航行方案如下：航行方向爲北偏東，航行速度的大小爲海里/小時，這樣，小艇能以最短時間與輪船相遇. 證明如下：

如圖，由⑴得，故，且對於線段上任意點，有. 而小艇的最高航行速度只能達到海里/小時，故小艇與輪船不可能在，之間(包含)的任意位置相遇.

設，則在中，.由於從出發到相遇，輪船與小艇所需要的時間分別爲和，∴，由此可得，.又∵，∴，從而，由於時，取得最小值，於是當時，取得最小值，且最小值爲，故可設計航行方案如下：航行方向爲北偏東，航行速度爲海里/小時，小艇能以最短時間與輪船相遇.

(方法三)⑴同方法一或方法二.

⑵設小艇與輪船在處相遇，依題意得，∴.

(i)若，則由得，，∴.①當時，令，則，，當且僅當即時等號成立.

②當時，同理可得. 由①②得，當時，.

(ii)若，則.

綜合(i)(ii)可知，當時，取最小值，此時，在中，，故可設計航行方案如下：航行方向爲北偏東，航行速度爲海里/小時，小艇能以最短時間與輪船相遇.