“古典概型”教學設計

“古典概型”教學設計

一．內容和內容解析

本節課是高中數學3（必修）第三章概率的第二節古典概型的第一課時，是在隨機事件的概率之後，幾何概型之前，尚未學習排列組合的情況下教學的。古典概型是一種特殊的數學模型，他的引入避免了大量的重複試驗，而且得到的是概率精確值，同時古典概型

也是後面學習條件概率的基礎，起到承前啓後的作用，所以在概率論中佔有相當重要的地位。主要內容有：

１．基本事件的概念及特點：（１）任何兩個基本事件是互斥的；（２）任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和。

２．古典概型的特徵：（１）試驗中所有可能出現的基本事件只有有限個；（２）每個基本事件出現的可能性相等。

３．古典概型的概率計算公式，用列舉法計算一些隨機事件所含的基本事件的個數及事件發生的概率。

隨機事件概率的基本算法是透過大量重複試驗用頻率來估計，而其特殊的類型??古典概型的概率計算，可透過分析結果來計算。學好古典概型可以爲其它概率的學習奠定基礎，同時有利於理解概率的概念，有利於計算一些事件的概率，有利於解釋生活中的一些問題。

本節課的重點是理解古典概型的概念及利用古典概型求解隨機事件的概率。

　二．目標和目標解析

１．透過“擲一枚質地均勻的硬幣的試驗”和“擲一枚質地均勻的骰子的試驗”瞭解基本事件的概念和特點

２．透過實例，理解古典概型及其概率計算公式。根據本節課的內容和學生的實際水平，透過模擬試驗讓學生理解古典概型的特徵：試驗結果的有限性和每一個試驗結果出現的等可能性，觀察類比各個試驗，歸納總結出古典概型的概率計算公式，體現了化歸的重要思想。適當地增加學生合作學習交流的機會，儘量地讓學生自己舉出生活和學習中與古典概型有關的實例。使得學生在體會概率意義的同時，感受與他人合作的重要性以初步形成實事求是地科學態度和鍥而不捨的求學精神。

３．會用列舉法計算一些隨機事件所含的基本事件數及事件發生的概率。掌握列舉法，學會運用數形結合、分類討論的思想解決概率的計算問題。

４．會初步應用概率計算公式解決簡單的古典概型問題。用有現實意義的實例，激發學生的學習興趣，培養學生勇於探索，善於發現的創新思想。培養學生掌握“理論來源於實踐，並把理論應用於實踐”的辨證思想。

三．教學問題診斷分析

學生已有的知識結構是，已經學習了隨機事件的概率，透過實例，已經瞭解隨機事件的不確定性和頻率的穩定性。瞭解了概率的意義，瞭解互斥事件及有限個互斥事件概率加法公式。和老教材的區別在於，學生是在尚未學習排列組合的情況下學習概率的。

學生學習的困難在於，對古典概型的兩個特徵理解不夠深刻，一看到試驗包含的基本事件是有限個就用古典概型的公式求概率，沒有驗證“每個基本事件出現是等可能的”這個條件；另外對基本事件的總數的計算容易產生重複或遺漏。

本節課的教學難點：如何判斷一個試驗是否是古典概型，分清在一個古典概型中某隨機事件包含的基本事件的個數和試驗中基本事件的總數。

在解決概率的計算上，教師鼓勵學生嘗試列表和畫出樹狀圖，讓學生感受求基本事件個數的一般方法，讓學生直觀的感受到對象的總數，而且還能使學生在列舉的時候作到不重不漏，從而化解由於沒有學習排列組合而學習概率這一教學困惑。在判斷一個試驗是否是古典概型時，教師可以設定一些問題讓學生判斷，加深對兩個特點缺一不可的理解。在例３的教學中，給出由於忽略等可能的條件而導致的錯誤解法，引起學生的認知衝突，有利於學生的掌握知識。

四．教學條件支援

爲了有效實現教學目標，條件許可，可以藉助計算機進行輔助教學。進行例３教學時，透過模擬和分析兩種方式中每個基本事件的等可能性，引導學生髮現在第二種情況下每個基本事件不是等可能的。

五．教學過程設計

（一）創設情境，引出課題

問題１：考察兩個試驗：（１）拋擲一枚質地均勻的硬幣的試驗；（２）擲一顆質地均勻的骰子的試驗。在這兩個試驗中，可能的結果分別有哪些？

設計意圖：透過擲硬幣與擲骰子兩個接近於生活的試驗的設計。先激發學生的學習興趣，然後引導學生觀察試驗，分析結果，找出共性。

師生活動：學生思考、討論，教師利用試驗給出所有可能出現的結果即基本事件。

問題２：基本事件有什麼特點？

師生活動：教師加以引導與啓發，利用基本事件的關係發現基本事件的特點。學生歸納與總結，鼓勵學生用自己的語言表述，從而提高學生的表達能力與數學語言的組織能力

問題３：在擲骰子試驗中，隨機試驗“出現偶數點”可以由哪些基本事件組成？

設計意圖：透過舉例，進一步加深對基本事件的理解，從而爲引出古典概型的定義做好鋪墊。

問題４：例１.從字母a，b，c，d中任意取出兩個不同字母的實驗中，有那些基本事件？

設計意圖：爲了引出古典概型的概念，設計了例1。將數形結合和分類討論的思想滲透到具體問題中來。由於沒有學習排列組合，因此用列舉法列舉基本事件的個數，不僅能讓學生直觀的感受到對象的總數，而且還能使學生在列舉的時候作到不重不漏。解決了求古典概型中基本事件總數這一難點。

師生活動：教師引導學生列舉時做到不重複、不遺漏。學生列舉出基本事件。教師指出畫樹狀圖是列舉法的基本方法

（二）透過設疑，引出概念

問題１：你知道擲均勻硬幣出現正面朝上的概率是多少？擲骰子出現偶數點的概率是多少？例１中出現字母“d”的概率又是多少？

設計意圖：學生根據已有的知識，已經可以獨立得出概率，透過教師的步步追問，引導學生深層次的考慮問題，看到問題的本質，得出概率公式。讓學生帶着思考問題觀察試驗，使其有目的的去尋找答案，有效的利用課堂時間，達到教學目標。公式的推導是在老師的啓發引導下，讓學生帶着好奇心去觀察數學模型。

師生活動：學生較容易得出上述問題的概率。

教師追問：這些概率你是怎麼得出的？

學生：（１）從實驗來的；（２）從可能性角度分析得到的。

對於擲骰子試驗，出現各個點的可能性相同，

記出現１點，２點，…，６點的事件分別爲Ａ１，Ａ２，…，Ａ６ ，記“出現偶數點”爲Ｂ，則Ｐ（Ａ１）＝Ｐ（Ａ２）＝…＝Ｐ（Ａ６），

又Ｐ（Ａ１）＋Ｐ（Ａ２）＋…＝Ｐ（Ａ６）＝Ｐ（必然事件）＝１

所以：Ｐ（Ａ１）＝Ｐ（Ａ２）＝…＝Ｐ（Ａ６）＝

教師追問：出現偶數點的概率爲什麼是？

師生：記“出現偶數點”爲事件Ｂ，利用概率的加法公式有

Ｐ（Ｂ）＝Ｐ（Ａ２）＋Ｐ（Ａ４）＋Ｐ（Ａ６）＝＝

推匯出概率公式：

問題２：上述概率公式的推導過程中基本事件有什麼特點？

設計意圖：培養運用從具體到抽象、從特殊到一般的辯證唯物主義觀點分析問題的能力，充分體現了數學的化歸思想。啓發誘導的同時，訓練了學生觀察和概括歸納的能力。透過問題的解決引出古典概型的概念。

師生活動：教師引導學生找出共性。具有下列兩個特點的概率模型才能運用上述公式，我們稱爲古典概率模型，簡稱古典概型。

（1）試驗中所有可能出現的基本事件只有有限個；（有限性）

（2）每個基本事件出現的可能性相等。（等可能性）

問題３：（1）向一個圓面內隨機地投射一個點，如果該點落在圓內任意一點都是等可能的，你認爲這是古典概型嗎?爲什麼？

（２）某同學隨機地向一靶心進行射擊，這一試驗的結果只有有限個：命中10環、命中9環……命中5環和不中環。你認爲這是古典概型嗎？爲什麼？

設計意圖：兩個問題的設計是爲了讓學生更加準確的把握古典概型的兩個特點。突破瞭如何判斷一個試驗是否是古典概型這一教學難點。

師生活動：學生互相交流，回答補充，教師歸納。（１）不是古典概型，因爲試驗的所有可能結果是圓面內所有的點，試驗的所有可能結果數是無限的；（２）不是古典概型，因爲試驗的所有可能結果只有7個，而命中10環、命中9環……命中5環和不中環的出現不是等可能的，即不滿足古典概型的第二個條件。

（三）例題分析，加深理解

問題１：例２.單選題是標準化考試中常用的題型，一般是從A、B、C、D四個選項中選擇一個正確答案。如果考生掌握了考察內容，他可以選擇唯一正確的答案。假設考生不會做，他隨機的選擇一個答案，問他答對的概率是多少？

設計意圖：這節課的難點就是古典概型的判斷，對例2 的分析是突破難點的契機，引導學生分析例2是否滿足古典概型的兩個基本特徵有限性與等可能性，由此掌握求此類題目的方法，讓學生進一步理解古典概型的概率計算公式，體驗概率與實際生活是息息相關的。

師生活動：教師引導學生思考是否滿足古典概型的特徵？學生思考、討論、交流，說出看法，教師對學生的回答進行歸納與總結。

解決這個問題的關鍵，即討論這個問題什麼情況下可以看成古典概型。如果考生掌握或者掌握了部分考察內容，這都不滿足古典概型的第2個條件——等可能性，因此，只有在假定考生不會做，隨機地選擇了一個答案的情況下，纔可以化爲古典概型。

學生根據已學知識回答：

問題２：在標準化的考試中既有單選題又有多選題，多選題是從A、B、C、D四個選項中選擇所有正確答案，同學們有一種感覺，如果不知道正確答案多選題更難猜對，這是爲什麼？

設計意圖：上述問題的設計，讓學生感受到數學模型的生活化，能用所學知識解決新問題是數學學習的主旨。當學生用自己的知識解決問題後，會有極大的成就感，提高了學習興趣，體驗了數學學習的真諦。

師生活動：教師引導學生列舉15種可能出現的答案，判斷是否滿足古典概型的特徵，利用概率公式求值。

問題３：例３. 同時擲兩個骰子，計算：

（1）一共有多少種不同的結果？

（2）其中向上的點數之和是5的結果有多少種？

（3）向上的點數之和是5的概率是多少？

設計意圖：這節課是在沒有學習排列組合的基礎上學習如何求概率，所以在教學中引導學生根據古典概型的特徵，用列舉法解決概率問題。深化鞏固對古典概型及其概率計算公式的理解，和用列舉法來計算一些隨機事件所含基本事件的個數及事件發生的概率。培養學生運用數形結合的思想，提高發現問題、分析問題、解決問題的能力，增強學生數學思維情趣，形成學習數學知識的積極態度。

透過觀察對比，發現兩種結果不同的根本原因是——研究的問題是否滿足古典概型，從而再次突出了古典概型這一教學重點，體現了學生的主體地位，逐漸養成自主探究能力。

師生活動：

（１）教師給出問題，學生思考求解。

（２）教師將學生的結果彙總展示，學生給出的答案可能會有兩種，然後引導學生分析原因，尋找解答中存在的問題。其中這兩種答案分別對應瞭解題中的兩種處理方法：把骰子標號進行解題和不標號進行解題，可以提示學生先把這兩種方法下的基本事件全部列出來，然後驗證是否爲古典概型。

（３）學生思考、討論，列出兩種方法下的基本事件，發現基本事件的總數不相等。

（４）教師透過模擬和分析兩種方式中每個基本事件的等可能性，引導學生髮現在第二種情況下每個基本事件不是等可能的，不是古典概型，因此不能用古典概型計算公式。

（５）師生共同總結解題步驟：

① 列舉基本事件（驗證基本事件是否有限，所有基本事件出現是否等可能）；

② 列舉目標事件所包含的`基本事件；

③ 利用公式進行計算。

問題４：把例３和例１作比較，你能找出它們的聯繫和區別嗎？

設計意圖：透過比較，培養學生從不同的角度觀察問題的能力，辯證地看待問題，加深對古典概型的理解。

師生活動：學生觀察、比較、交流，教師總結：

例３中列舉基本事件時考試是有序的、數字可以重複出現的，而例１是無序的、字母不可能重複出現的。例１也可以從有序的角度考慮：如我們也可以把所有的基本事件列爲：（a,b）,(a,c),(a,d),(b,a),(b,c),(b,d),(c,a),(c,b),(c,d),(d,a),(d,b),(d,c)

（四）循序漸進，例題延伸

問題１：假設儲蓄卡的密碼由4個數字組成，每個數字可以是0，1，2…，9十個數字中的任意一個。假設一個人完全忘記了密碼，問他到自動提款機上隨機式一次密碼就能取到錢的概率是多少？

設計意圖：選用具有現實意義的例題，激發學生的學習興趣，培養其運用數學知識解決實際問題的能力。

師生活動：教師要引導學生注意題目的前提是“完全忘記了自己的儲蓄卡密碼”，在這種前提下才是古典概型問題，才能用古典概型公式解決問題。

學生思考、討論、交流，在教師的指導下各自解題。

教師對學生的結果進行評價和完善，同時讓學生理解爲什麼自動取款機不能無限制地讓用戶試密碼，用身份證上的號碼作密碼不安全等現象。

問題２：某種飲料每箱裝6聽，如果其中有2聽不合格，問質檢人員隨機抽出2聽，檢測出不合格產品的概率有多大？

設計意圖：激發學生學習興趣，進一步培養學生解題能力。

師生活動：學生獨立練習，必要時可以討論。教師個別指導。題目中關鍵是基本事件的表示方法，教師可給出相應的引導與提示。

（五）變式練習，鞏固提高

問題1：一次投擲兩顆骰子，求出現的點數之和爲奇數的概率。

設計意圖：爲了體現了知識的遞近與螺旋式上升。在教材安排練習的基礎上，設計了一題多解的變式練習，有三種解法，體現了數學的多變性和靈活性。更爲重要的是萬變不離其中，只有掌握了古典概型的特徵，才能體會這道題的意境。

師生活動：教師引導學生從不同的角度解決問題。

學生用列舉法給出解法1：設A表示“出現點數之和爲奇數”，用（i,j）記“第一顆骰子出現i點，第二顆骰子出現j點”，i= 1,2,3,4,5,6。顯然出現的36個基本事件組成等概樣本空間，其中A包含的基本事件個數爲18個，故

教師給出解法2：若把一次試驗的所有可能結果取爲：（奇，奇），（奇，偶），（偶，奇），（偶，偶），則它們也組成等概樣本空間。基本事件總數爲４，Ａ包含的基本事件個數 爲２。

學生找出解法３：若把一次試驗的所有可能結果取爲：{點數和爲奇數}，{點數和爲偶數}，也組成等概樣本空間，基本事件總數爲２，Ａ所含基本事件數爲1。

（六）總結概括，自我評價

問題１：這節課你有什麼收穫?學到了哪些知識和方法?

設計意圖：使學生對本節課的知識有一個系統全面的認識，並把學過的相關知識有機地串聯起來，便於記憶和應用，也進一步昇華了這節課所要表達的本質思想，讓學生的認知更上一層。

師生活動：學生小結歸納，不足的地方老師補充說明。

1．我們將具有

（1）試驗中所有可能出現的基本事件只有有限個；（有限性）

（2）每個基本事件出現的可能性相等。（等可能性）

這樣兩個特點的概率模型稱爲古典概率概型，簡稱古典概型。

2．古典概型計算任何事件的概率計算公式。

3．求某個隨機事件A包含的基本事件的個數和實驗中基本事件的總數的常用方法是列舉法（畫樹狀圖和列表），應做到不重不漏。

　六．目標檢測設計

第１題：在夏令營的７名成員中，有３名同學已去過北京。從這７名同學中任選２名同學，選出的這２名同學恰是已去過北京的概率是多少？

設計意圖：首先判斷是否古典概型，然後用列舉法列出基本事件的總數及隨機事件所含基本事件的個數，利用公式計算概率。

第２題：下面有三個遊戲規則，袋子中分別裝有球，從袋中無放回地取球，分別計算甲獲勝的概率，哪個遊戲是公平的？

遊戲１

遊戲２

遊戲３

１個紅球和１個白球

２個紅球和２個白球

３個紅球和１個白球

取１個球

取１個球，再取１個球

取１個球，再取１個球

取出的球是紅球→甲勝

取出的兩個球同色→甲勝

取出的兩個球同色→甲勝

取出的球是白球→乙勝

取出的兩個球不同色→乙勝

取出的兩個球不同色→乙勝

設計意圖：透過這些學生熟悉的、有趣的隨機環境，比較容易使學生把學的新知識與自己原有的經驗和直覺聯繫起來。

第３題：某城市的電話號碼是８位數，如果從電話號碼中任指一個電話號碼，求：

（１） 頭兩位數碼都是８的概率；

（２） 頭兩位數碼至少有一個不超過８的概率；

（３） 頭兩位數碼不相同的概率。

設計意圖：從實際問題出發，結合古典概型和概率的性質，先計算事件的對立事件發生的概率，加強前後知識的聯繫，培養學生的對知識的綜合運用能力。

七．教學設計說明：

１．根據本節課的特點，採用引導發現和歸納概括相結合的教學方法，透過提出問題、思考問題、解決問題等教學過程，觀察對比、概括歸納古典概型的概念及其概率公式，再透過具體問題的提出和解決，來激發學生的學習興趣，調動學生的主體能動性，讓每一個學生充分地參與到學習活動中來。

２．學生在教師創設的問題情景中，透過觀察、類比、思考、探究、概括、歸納和動手嘗試相結合，體現了學生的主體地位，培養了學生由具體到抽象，由特殊到一般的數學思維能力，形成了實事求是的科學態度，增強了鍥而不捨的求學精神。

３．以問題爲紐帶，化結果爲過程的教學理念始終貫穿了整個教學過程，因爲我們不僅希望學生掌握知識，更希望學生掌握分析知識、選擇知識、更新知識的能力。簡單的說智慧比知識更重要，知識是啓發智慧的手段，過程是結果的動態延伸，教學中能夠把結果變成過程，才能把知識變成智慧！