概率的意義的教學設計

教學目標:

〈一〉知識與技能

1.知道透過大量重複試驗時的頻率可以作爲事件發生概率的估計值

2.在具體情境中瞭解概率的意義

〈二〉教學思考

讓學生經歷猜想試驗--收集數據--分析結果的探索過程，豐富對隨機現象的體驗，體會概率是描述不確定現象規律的數學模型.初步理解頻 率與概率的關係.

〈三〉解決問題

在分組合作學習過程中積累數學活動經驗，發展學生合作交流的意識與能力.鍛鍊質疑、獨立思考的習慣與精神，幫助學生逐步建立正確的隨機觀念.

〈四〉情感態度與價值觀

在合作探究學習過程中，激發學生學習的好奇心與求知慾.體驗數學的價值與學習的樂趣.透過概率意義教學，滲透辯證思想教育.

【教學重點】在具體情境中瞭解概率意義.

【教學難點】對頻率與概率關係的初步理解

【教具準備】壹元硬幣數枚、圖釘數枚、多媒體課件

【教學過程】

一、創設情境，引出問題

教師提出問題：週末市體育場有一場精彩的籃球比賽，老師手中只有一張球票，小強與小明都是班裏的籃球迷，兩人都想去.我很爲難，真不知該把球給誰.請大家幫我想個辦法來決定把球票給誰.

學生：抓鬮、抽籤、猜拳、投硬幣，

教師對同學的較好想法予以肯定.(學生肯定有 許多較好的想法，在衆多方法中推舉出大家較認可的方法.如抓鬮、投硬幣)

追問，爲什麼要用抓鬮、投硬幣的方法呢?

由學生討論：這樣做公平.能保證小強與小明得到球票的可能性一樣大

在學生討論發言後，教師評價歸納.

用拋擲硬幣的方法分配球票是個隨機事件，儘管事先不能確定正面朝上還上反面朝上，但同學們很容易感覺到或猜到這兩個隨機事件發生的可能性是一樣的，各佔一半，所以小強、小明得到球票的可能性一樣大.

質疑：那麼，這種直覺是否真的是正確的呢?

引導學生以投擲壹元硬幣爲例，不妨動手做投擲硬幣的試驗來驗證一下.

說明：現實中不 確定現象是大量存在的， 新課標指出：學生數學學習內容應當是現實的、有意義、富有挑戰的，設定實際生活問題情境貼近學生的生活實際，很容易激發學生的學習熱情，教師應對此予以肯定，並鼓勵學生積極思考，爲課堂教學營造民主和諧的氣氛，也爲下一步引導學生開展探索交流活動打下基礎.

二 、動手實踐，合作探究

1.教師佈置試驗任務.

(1)明確規則.

把全班分成10組，每組中有一名學生投擲硬幣，另一名同學作記錄，其餘同學觀察試驗必須在同樣條件下進行.

(2)明確任務，每組擲幣50次，以實事求是的態度，認真統計正面朝上 的頻數及 正面朝上的頻率，整理試驗的數據,並記錄下來..

2.教師巡視學生分組試驗情況.

注意：

(1).觀察學生在探究活動中，是否積極參與試驗活動、是否願意交流等，關注學生是否積極思考、勇於克服困難.

(2).要求真實記錄試驗情況.對於合作學習中有可能產生的紀律問題予以調控.

3.各組彙報實驗結果.

由於試驗次數較少，所以有可能有些組試驗獲得的正面朝上的頻率與先前的猜想有出入.

提出問題：是不是我們 的猜想出了問題?引導學生分析討論產生差異的原因.

在學生充分討論的基礎上，啓發學生分析討論產生差異的原因.使學生認識到每次隨機試驗的頻率具有不確定性，同時相信隨機事件發生的頻率也有規律性， 引導他們小組合作，進一步探究.

解決的辦法是增加試驗的次數，鑑於課堂時間有限，引導學生進行全班交流合作.

4.全班交流.

把各組測得數據一一彙報，教師將各組數據記錄在黑板上.全班同學對數據進行累計，按照書上P140要求填好25-2.並根據所整理的數據，在25.1-1圖上標註出對應的點,完成統計圖.

表25-2

拋 擲次數 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

正面向上的頻數

正面向上的頻率

想一想1(投影出示). 觀察統計表與統計圖，你發現正面向上的頻率有什麼規律?

注意學生的語言表述情況，意思正確予以肯定與鼓勵.正面朝上的頻率在0.5上下波動.

想一想2(投影出示)

隨着拋擲次數增加，正面向上的頻率變化趨勢有何規律?

在學生討論的基礎上，教師幫助歸納.使學生認識到每次試驗中隨機事件發生的頻率具有不確定性，同時發現隨機事件發生的頻率也有規律性.在試驗次數較少時，正面朝上的頻率起伏較大，而隨着試驗次數的逐漸增加，一般地，頻率會趨於穩定，正面朝上的頻率越來越接近0.5. 這也與我們剛開始的猜想是一致的`.我們就用0.5這個常數表示正面向上發生的可能性的大小.

說明：注意幫助解決學生在填寫統計表與統計圖遇到的困難.透過以上實踐探究活動，讓學生真實地感受到、清楚地觀察到試驗所體現的規律，即大量重複試驗事件發生的頻率接近事件發生的可能性的大小(概率).鼓勵學生在學習中要積極合作交流，思考探究.學會傾聽別人意見，勇於表達自己的見解.

爲了給學生提供大量的、快捷的試驗數據,利用計算機模擬擲硬幣試驗的課件，豐富學生的體驗、提高課堂教學效率，使他們能直觀地、便捷地觀察到試驗結果的規律性--大量重複試驗中，事件發生的頻率逐漸穩定到某個常數附近 .

其實，歷史上有許多著名數學家也做過擲硬幣的試驗.讓學生閱讀歷史上數學家做擲幣試驗的數據統計表(看書P141表25-3).

表25-3

試驗者 拋擲次數(n) 正面朝上次數(m) 正面向上頻率(m/n)

棣莫弗 2048 1061 0.518

布豐 4040 2048 0.5069

費勒 10000 4979 0.4979

皮爾遜 12000 6019 0.5016

皮爾遜 24000 12012 0.5005

透過以上學生親自動手實踐,電腦輔助演示,歷史材料展示, 讓學生真實地感受到、清楚地觀察到試驗所體現的規律，大量重複試驗中，事件發生的頻率逐漸穩定到某個常數附近,即大量重複試驗事件發生的頻率接近事件發生的可能性的大小( 概率).同時,又感受到無論試驗次數多麼大,也無法保證事件發生的頻率充分地接近事件發生的概率.

在探究學習過程中,應注意評價學生在活動中參與程度、自信心、是否願意交流等，鼓勵學生在學習中不怕困難積極思考，敢於表達自己的觀點與感受,養成實事求是的科學態度.

5.下面我們能否研究一下反面向上的頻率情況?

學生自然可依照正面朝上的研究方法，很容易總結得出：反面向上的頻率也相應穩定到0.5.

教師歸納：

(1)由以上試驗，我們驗證了開始的猜想，即拋擲一枚質地均勻的硬幣時，正面向上與反面向上的可能性相等(各佔一半).也就是說，用拋擲硬幣的方法可以使小明與小強得到球票的可能性一樣.

(2)在實際生活還有許多這樣的例子，如在足球比賽中，裁判用擲硬幣的辦法來決定雙方的比賽場地等等.

說明： 這個環節，讓學生親身經歷了猜想試驗收集數據 分析結果的探索過程，在真實數據的分析中形成數學思考，在討論交流中達成知識的主動建構，爲下一環節概率意義的教學作了很好的鋪墊.

三、評價概括，揭示新知

問題1.透過以上大量試驗，你對頻率有什麼新的認識?有沒有發現頻率還有其他作用?

學生探究交流.發現隨機事件的可能性的大小可以用隨機事件發生的頻率逐漸穩定到的值(或常數)估計或去描述.

透過猜想試驗及探究討論，學生不難有以上認識.對學生可能存在語言上、描述中的不準確等注意予以糾正，但要求不必過高.

歸納：以上我們用隨機事件發生的頻率逐漸穩定到的常數刻畫了隨機事件的可能性的大小.

那麼我們給這樣的常數一個名稱，引入概率定義.給出概率定義(板書)：一般地，在大量重複試驗中，如果事件A發生的頻率 會穩定在某個常數p附近，那麼這個常數p就叫做事件A的概率(probability), 記作P(A)= p.

注意指出：

1.概率是隨機事件發生的可能性的大小的數量反映.

2.概率是事件在大量重複試驗中頻率逐漸穩定到的值，即可以用大量重複試驗中事件發生的頻率去估計得到事件發生的概率，但二者不能簡單地等同.

想一想(學生交流討論)

問題2.頻率與概率有什麼區別與聯繫?

從定義可以得 到二者的聯繫, 可用大量重複試驗中事件發生頻率來估計事件發生的概率.另一方面,大量重複試驗中事件發生的頻率穩定在某個常數(事件發生的概率)附近，說明概率是個定值,而頻率隨不同試驗次數而有所不同,是概率的近似值,二者不能簡單地等同.

說明：猜想試驗、分析討論、合作探究的學習方式十分有益於學生對概率意義的理解，使之明確頻率與概率的聯繫，也使本節課教學重難點得以突破.爲下節課進一步研究概率和今後的學習打下了基礎. 當然，學生隨機觀念的養成是循序漸進的、長期的.這節課教學應把握教學難度，注意關注學生接受情況.

四.練習鞏固，發展提高.

學生練習

1.書上P143.練習.1. 鞏固用頻率估計概率的方法.

2.書上P143.練習.2 鞏固對概率意義的理解.

教師應當關注學生對知識掌握情況，幫助學生解決遇到的問題.

五.歸納總結，交流收穫：

1.學生互相交流這節課的體會與收穫，教師可將學生的總結與板書串一起，使學生對知識掌握條理化、系統化.

2.在學生交流總結時，還應注意總結評價這節課所經歷的探索過程，體會到的數學價值與合作交流學習的意義.

【作業設計】

(1)完成P144 習題25.1 2、4

(2)課外活動分小組活動，用試驗方法獲得圖釘從一定高度落下後釘尖着地的概率.

【教學設計說明】

這節課是在學習了25.1.1節隨機事件的基礎上學習的，學生透過大量重複試驗，體驗用事件發生的 頻率去刻畫事件發生的可能性大小，從而得到概率的定義.

1.對概率意義的正確理解，是建立在學生透過大量重複試驗後，發現事件發生的頻率可以刻畫隨機事件發生可能性的基礎上.結合學生認知規律與教材特點，這節課以用擲硬幣方法分配球票爲問題情境，引導學生親身經歷猜測試驗收集數據分析結果的探索過程.這符合《新課標》從學生已有生活經驗出發，讓學生親身經歷將實際問題抽象爲數學模型並進行解釋與應用的過程的理念.

貼近生活現實的問題情境，不僅易於激發學生的求知慾與探索熱情 ，而且會促進他們面對要解決的問題大膽猜想，主動試驗，收集數據，分析結果，爲尋求問題解決主動與他人交流合作.在知識的主動建構過程中，促進了教學目標的有效達成.更重要的是，主動參與數學活動的經歷會使他們終身受益.

2.隨機現象是現實世界中普遍存在的，概率的教學的一個很重要的目標就是培養學生的隨機觀念.爲了實現這一目標，教學設計中讓學生親身經歷對隨機事件的探索過程，透過與他人合作探究，使學生自我主動修正錯誤經驗，揭示頻 率與概率的關係，從而逐步建立正確的隨機觀念，也爲以後進一步學習概率有關知識打下基礎.

3.在教學中，本課力求向學生提供從事數學活動的時間與空間，爲學生的自主探索與同伴的合作交流提供保障，從而促進學生學習方式的轉變，使之獲得廣泛的數學活動經驗.教師在學習活動中是組織者、引導者與合作者，應注意評價 學生在活動中參與程度、自信心、是否願意交流等，給學生以適時的引導與鼓勵.