對數函數性質測試題

1．(2010年高考天津卷)設a＝log54，b＝(log53)2，c＝log45，則()

A．a＜c＜bB．b＜c＜a

C．a＜b＜cD．b＜a＜c

解析：選D.a＝log54＜1，log53＜log54＜1，b＝(log53)2＜log53，c＝log45＞1，故b＜a＜c.

2．已知f(x)＝loga|x－1|在(0,1)上遞減，那麼f(x)在(1，＋∞)上()

A．遞增無最大值B．遞減無最小值

C．遞增有最大值D．遞減有最小值

解析：選A.設y＝logau，u＝|x－1|.

x∈(0,1)時，u＝|x－1|爲減函數，∴a>1.

∴x∈(1，＋∞)時，u＝x－1爲增函數，無最大值．

∴f(x)＝loga(x－1)爲增函數，無最大值．

3．已知函數f(x)＝ax＋logax(a＞0且a≠1)在[1,2]上的最大值與最小值之和爲loga2＋6，則a的值爲()

A.12B.14

C．2D．4

解析：選C.由題可知函數f(x)＝ax＋logax在[1,2]上是單調函數，所以其最大值與最小值之和爲f(1)＋f(2)＝a＋loga1＋a2＋loga2＝loga2＋6，整理可得a2＋a－6＝0，解得a＝2或a＝－3(捨去)，故a＝2.

4．函數y＝log13(－x2＋4x＋12)的單調遞減區間是________．

解析：y＝log13u，u＝－x2＋4x＋12.

令u＝－x2＋4x＋12>0，得－2<x<6.

∴x∈(－2,2]時，u＝－x2＋4x＋12爲增函數，

∴y＝log13(－x2＋4x＋12)爲減函數．

答案：(－2,2]

1．若loga2＜1，則實數a的取值範圍是()

A．(1,2)B．(0,1)∪(2，＋∞)

C．(0,1)∪(1,2)D．(0，12)

解析：選B.當a＞1時，loga2＜logaa，∴a＞2；當0＜a＜1時，loga2＜0成立，故選B.

2．若loga2<logb2<0，則下列結論正確的是()

A．0<a<b<1B．0<b<a<1

C．a>b>1D．b>a>1

解析：選B.∵loga2<logb2<0，如圖所示，

∴0<b<a<1.

3．已知函數f(x)＝2log12x的值域爲[－1,1]，則函數f(x)的定義域是()

A．[22，2]B．[－1,1]

C．[12，2]D．(－∞，22]∪[2，＋∞)

解析：選A.函數f(x)＝2log12x在(0，＋∞)上爲減函數，則－1≤2log12x≤1，可得－12≤log12x≤12，

解得22≤x≤2.

4．若函數f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0,1]上的'最大值和最小值之和爲a，則a的值爲()

A.14B.12

C．2D．4

解析：選B.當a＞1時，a＋loga2＋1＝a，loga2＝－1，a＝12，與a＞1矛盾；

當0＜a＜1時，1＋a＋loga2＝a，

loga2＝－1，a＝12.

5．函數f(x)＝loga[(a－1)x＋1]在定義域上()

A．是增函數B．是減函數

C．先增後減D．先減後增

解析：選A.當a＞1時，y＝logat爲增函數，t＝(a－1)x＋1爲增函數，∴f(x)＝loga[(a－1)x＋1]爲增函數；當0＜a＜1時，y＝logat爲減函數，t＝(a－1)x＋1爲減函數，

∴f(x)＝loga[(a－1)x＋1]爲增函數．

6．(2009年高考全國卷Ⅱ)設a＝lge，b＝(lge)2，c＝lge，則()

A．a>b>cB．a>c>b

C．c>a>bD．c>b>a

解析：選B.∵1<e<3，則1<e<e<e2<10，

∴0<lge<1.則lge＝12lge<lge，即c<a.

∵0<lge<1，∴(lge)2<lge，即b<a.

又c－b＝12lge－(lge)2＝12lge(1－2lge)

＝12lgelg10e2>0，∴c>b，故選B.

7．已知0＜a＜1,0＜b＜1，如果alogb(x－3)＜1，則x的取值範圍是________．

解析：∵0＜a＜1，alogb(x－3)＜1，∴logb(x－3)＞0.

又∵0＜b＜1，∴0＜x－3＜1，即3＜x＜4.

答案：3＜x＜4

8．f(x)＝log21＋xa－x的圖象關於原點對稱，則實數a的值爲________．

解析：由圖象關於原點對稱可知函數爲奇函數，

所以f(－x)＋f(x)＝0，即

log21－xa＋x＋log21＋xa－x＝0log21－x2a2－x2＝0＝log21，

所以1－x2a2－x2＝1a＝1(負根捨去)．

答案：1

9．函數y＝logax在[2，＋∞)上恆有|y|＞1，則a取值範圍是________．

解析：若a＞1，x∈[2，＋∞)，|y|＝logax≥loga2，即loga2＞1，∴1＜a＜2；若0＜a＜1，x∈[2，＋∞)，|y|＝－logax≥－loga2，即－loga2＞1，∴a＞12，∴12＜a＜1.

答案：12＜a＜1或1＜a＜2

10．已知f(x)＝6－ax－4ax<1logaxx≥1是R上的增函數，求a的取值範圍．

解：f(x)是R上的增函數，

則當x≥1時，y＝logax是增函數，

∴a>1.

又當x<1時，函數y＝(6－a)x－4a是增函數．

∴6－a>0，∴a<6.

又(6－a)×1－4a≤loga1，得a≥65.

∴65≤a<6.

綜上所述，65≤a＜6.

11．解下列不等式．

(1)log2(2x＋3)＞log2(5x－6)；

(2)logx12＞1.

解：(1)原不等式等價於2x＋3＞05x－6＞02x＋3＞5x－6，

解得65＜x＜3，

所以原不等式的解集爲(65，3)．

(2)∵logx12＞1log212log2x＞11＋1log2x＜0

log2x＋1log2x＜0－1＜log2x＜0

2－1＜x＜20x＞012＜x＜1.

∴原不等式的解集爲(12，1)．

12．函數f(x)＝log12(3x2－ax＋5)在[－1，＋∞)上是減函數，求實數a的取值範圍．

解：令t＝3x2－ax＋5，則y＝log12t在[－1，＋∞)上單調遞減，故t＝3x2－ax＋5在[－1，＋∞)單調遞增，且t＞0(即當x＝－1時t＞0)．

因爲t＝3x2－ax＋5的對稱軸爲x＝a6，所以a6≤－18＋a＞0a≤－6a＞－8－8＜a≤－6.