指數函數和對數函數練習題

一、選擇題

1．下列函數：①y＝3x2(xN＋)；②y＝5x(xN＋)；③y＝3x＋1(xN＋)；④y＝32x(xN＋)，其中正整數指數函數的個數爲()

A．0B．1C．2D．3

【解析】 由正整數指數函數的定義知，只有②中的函數是正整數指數函數．

【答案】 B

2．函數f(x)＝(14)x，xN＋，則f(2)等於()

A．2 B．8

C．16 D.116

【解析】 ∵f(x)＝(14x)xN＋，

f(2)＝(14)2＝116.

【答案】 D

3．(2013阜陽檢測)若正整數指數函數過點(2,4)，則它的解析式爲()

A．y＝(－2)x B．y＝2x

C．y＝(12)x D．y＝(－12)x

【解析】 設y＝ax(a＞0且a1)，

由4＝a2得a＝2.

【答案】 B

4．正整數指數函數f(x)＝(a＋1)x是N＋上的減函數，則a的取值範圍是()

A．a B．－10

C．01 D．a－1

【解析】 ∵函數f(x)＝(a＋1)x是正整數指數函數，且f(x)爲減函數，

0a＋11，

－10.

【答案】 B

5．由於生產電腦的成本不斷降低，若每年電腦價格降低13，設現在的電腦價格爲8 100元，則3年後的價格可降爲()

A．2 400元 B．2 700元

C．3 000元 D．3 600元

【解析】 1年後價格爲

8 100(1－13)＝8 10023＝5 400(元)，

2年後價格爲

5 400(1－13)＝5 40023＝3 600(元)，

3年後價格爲

3 600(1－13)＝3 60023＝2 400(元)．

【答案】 A

二、填空題

6．已知正整數指數函數y＝(m2＋m＋1)(15)x(xN＋)，則m＝______.

【解析】 由題意得m2＋m＋1＝1，

解得m＝0或m＝－1，

所以m的值是0或－1.

【答案】 0或－1

7．比較下列數值的`大小：

(1)(2)3________(2)5；

(2)(23)2________(23)4.

【解析】 由正整數指數函數的單調性知，

(2)3(2)5，(23)2(23)4.

【答案】 (1) (2)

8．據某校環保小組調查，某區垃圾量的年增長率爲b,2012年產生的垃圾量爲a噸，由此預測，該區下一年的垃圾量爲________噸，2020年的垃圾量爲________噸．

【解析】 由題意知，下一年的垃圾量爲a(1＋b)，從2012年到2020年共經過了8年，故2020年的垃圾量爲a(1＋b)8.

【答案】 a(1＋b) a(1＋b)8

三、解答題

9．已知正整數指數函數f(x)＝(3m2－7m＋3)mx，xN＋是減函數，求實數m的值．

【解】 由題意，得3m2－7m＋3＝1，解得m＝13或m＝2，又f(x)是減函數，則01，所以m＝13.

10．已知正整數指數函數f(x)的圖像經過點(3,27)，

(1)求函數f(x)的解析式；

(2)求f(5)；

(3)函數f(x)有最值嗎？若有，試求出；若無，說明原因．

【解】 (1)設正整數指數函數爲f(x)＝ax(a0，a1，xN＋)，因爲函數f(x)的圖像經過點(3,27)，所以f(3)＝27，即a3＝27，解得a＝3，所以函數f(x)的解析式爲f(x)＝3x(xN＋)．

(2)f(5)＝35＝243.

(3)∵f(x)的定義域爲N＋，且在定義域上單調遞增，

f(x)有最小值，最小值是f(1)＝3；f(x)無最大值．

11．某種細菌每隔兩小時分裂一次(每一個細菌分裂成兩個，分裂所需時間忽略不計)，研究開始時有兩個細菌，在研究過程中不斷進行分裂，細菌總數y是研究時間t的函數，記作y＝f(t)．

(1)寫出函數y＝f(t)的定義域和值域；

(2)在座標系中畫出y＝f(t)(06)的圖像；

(3)寫出研究進行到n小時(n0，nZ)時，細菌的總個數(用關於n的式子表示)．

【解】 (1)y＝f(t)的定義域爲{t|t0}，值域爲{y|y＝2m，mN＋)}；

(2)06時，f(t)爲一分段函數，

y＝2，02，4，24，8，46.

圖像如圖所示．

(3)n爲偶數且n0時，y＝2n2＋1；

n爲奇數且n0時，y＝2n－12＋1.