指數函數練習題

1．設y1＝40.9，y2＝80.48，y3＝(12)－1.5，則(  )

A．y3>y1>y2       B．y2>y1>y3

C．y1>y2>y3   D．y1>y3>y2

解析：選D.y1＝40.9＝21.8，y2＝80.48＝21.44，

y3＝(12)－1.5＝21.5，

∵y＝2x在定義域內爲增函數，

且1.8>1.5>1.44，

∴y1>y3>y2.

2．若函數f(x)＝ax，x>14－a2x＋2，x≤1是R上的增函數，則實數a的取值範圍爲(  )

A．(1，＋∞)   B．(1,8)

C．(4,8)   D．[4,8)

解析：選D.因爲f(x)在R上是增函數，故結合圖象(圖略)知a>14－a2>04－a2＋2≤a，解得4≤a<8.

3．函數y＝(12)1－x的單調增區間爲(  )

A．(－∞，＋∞)   B．(0，＋∞)

C．(1，＋∞)   D．(0,1)

解析：選A.設t＝1－x，則y＝12t，則函數t＝1－x的遞減區間爲(－∞，＋∞)，即爲y＝121－x的遞增區間．

4．已知函數y＝f(x)的定義域爲(1,2)，則函數y＝f(2x)的定義域爲________．

解析：由函數的.定義，得1＜2x＜20＜x＜1.所以應填(0,1)．

答案：(0,1)

1．設13<(13)b<(13)a<1，則(  )

A．aa<ab<ba   B．aa<ba<ab

C．ab<aa<ba   D．ab<ba<aa

解析：選C.由已知條件得0<a<b<1，

∴ab<aa，aa<ba，∴ab<aa<ba.

2．若(12)2a＋1<(12)3－2a，則實數a的取值範圍是(  )

A．(1，＋∞)   B．(12，＋∞)

C．(－∞，1)   D．(－∞，12)

解析：選B.函數y＝(12)x在R上爲減函數，

∴2a＋1>3－2a，∴a>12.

3．下列三個實數的大小關係正確的是(  )

A．(12011)2＜212011＜1   B．(12011)2＜1＜212011

C．1＜(12011)2＜212011   D．1＜212011＜(12011)2

解析：選B.∵12011＜1，∴(12011)2＜1,212011＞20＝1.

4．設函數f(x)＝a－|x|(a＞0且a≠1)，f(2)＝4，則(  )

A．f(－1)＞f(－2)   B．f(1)＞f(2)

C．f(2)＜f(－2)   D．f(－3)＞f(－2)

解析：選D.由f(2)＝4得a－2＝4，又a＞0，∴a＝12，f(x)＝2|x|，∴函數f(x)爲偶函數，在(－∞，0)上單調遞減，在(0，＋∞)上單調遞增．

5．函數f(x)＝12x＋1在(－∞，＋∞)上(  )

A．單調遞減無最小值   B．單調遞減有最小值

C．單調遞增無最大值   D．單調遞增有最大值

解析：選A.u＝2x＋1爲R上的增函數且u＞0，

∴y＝1u在(0，＋∞)爲減函數．

即f(x)＝12x＋1在(－∞，＋∞)上爲減函數，無最小值．

6．若x＜0且ax＞bx＞1，則下列不等式成立的是(  )

A．0＜b＜a＜1   B．0＜a＜b＜1

C．1＜b＜a   D．1＜a＜b

解析：選B.取x＝－1，∴1a＞1b＞1，∴0＜a＜b＜1.

7．已知函數f(x)＝a－12x＋1，若f(x)爲奇函數，則a＝________.

解析：法一：∵f(x)的定義域爲R，且f(x)爲奇函數，

∴f(0)＝0，即a－120＋1＝0.

∴a＝12.

法二：∵f(x)爲奇函數，

∴f(－x)＝－f(x)，

即a－12－x＋1＝12x＋1－a，解得a＝12.

答案：12

8．當x∈[－1,1]時，f(x)＝3x－2的值域爲________．

解析：x∈[－1,1]，則13≤3x≤3，即－53≤3x－2≤1.

答案：－53，1

9．若函數f(x)＝e－(x－u)2的最大值爲m，且f(x)是偶函數，則m＋u＝________.

解析：∵f(－x)＝f(x)，

∴e－(x＋u)2＝e－(x－u)2，

∴(x＋u)2＝(x－u)2，

∴u＝0，∴f(x)＝e－x2.

∵x2≥0，∴－x2≤0，∴0＜e－x2≤1，

∴m＝1，∴m＋u＝1＋0＝1.

答案：1

10．討論y＝(13)x2－2x的單調性．

解：函數y＝(13)x2－2x的定義域爲R，

令u＝x2－2x，則y＝(13)u.列表如下：

u＝x2－2x

＝(x－1)2－1 y＝(13)u

y＝(13)x2－2x

x∈(－∞，1]

x∈(1，∞)

由表可知，原函數在(－∞，1]上是增函數，在(1，＋∞)上是減函數．

11．已知2x≤(14)x－3，求函數y＝(12)x的值域．

解：由2x≤(14)x－3，得2x≤2－2x＋6，

∴x≤－2x＋6，∴x≤2.∴(12)x≥(12)2＝14，

即y＝(12)x的值域爲[14，＋∞)．

12．已知f(x)＝(12x－1＋12)x.

(1)求函數的定義域；

(2)判斷函數f(x)的奇偶性；

(3)求證：f(x)>0.

解：(1)由2x－1≠0，得x≠0，

∴函數的定義域爲{x|x≠0，x∈R}．

(2)在定義域內任取x，則－x在定義域內，

f(－x)＝(12－x－1＋12)(－x)＝(2x1－2x＋12)(－x)

＝－1＋2x21－2xx＝2x＋122x－1x，

而f(x)＝(12x－1＋12)x＝2x＋122x－1x，

∴f(－x)＝f(x)，

∴函數f(x)爲偶函數．

(3)證明：當x<0時，由指數函數性質知，

0<2x<1，－1<2x－1<0，

∴12x－1<－1，

∴12x－1＋12<－12.

又x<0，∴f(x)＝(12x－1＋12)x>0.

由f(x)爲偶函數，當x>0時，f(x)>0.

綜上，當x∈R，且x≠0時，函數f(x)>0.