數學冪函數測試題

1．下列冪函數爲偶函數的是()

A．y＝x12B．y＝3x

C．y＝x2D．y＝x－1

解析：選C.y＝x2，定義域爲R，f(－x)＝f(x)＝x2.

2．若a＜0，則0.5a,5a,5－a的大小關係是()

A．5－a＜5a＜0.5aB．5a＜0.5a＜5－a

C．0.5a＜5－a＜5aD．5a＜5－a＜0.5a

解析：選B.5－a＝(15)a，因爲a＜0時y＝xa單調遞減，且15＜0.5＜5，所以5a＜0.5a＜5－a.

3．設α∈{－1,1，12，3}，則使函數y＝xα的定義域爲R，且爲奇函數的所有α值爲()

A．1,3B．－1,1

C．－1,3D．－1,1,3

解析：選A.在函數y＝x－1，y＝x，y＝x12，y＝x3中，只有函數y＝x和y＝x3的定義域是R，且是奇函數，故α＝1,3.

4．已知n∈{－2，－1,0,1,2,3}，若(－12)n>(－13)n，則n＝________.

解析：∵－12<－13，且(－12)n>(－13)n，

∴y＝xn在(－∞，0)上爲減函數．

又n∈{－2，－1,0,1,2,3}，

∴n＝－1或n＝2.

答案：－1或2

1．函數y＝(x＋4)2的遞減區間是()

A．(－∞，－4)B．(－4，＋∞)

C．(4，＋∞)D．(－∞，4)

解析：選A.y＝(x＋4)2開口向上，關於x＝－4對稱，在(－∞，－4)遞減．

2．冪函數的圖象過點(2，14)，則它的單調遞增區間是()

A．(0，＋∞)B．[0，＋∞)

C．(－∞，0)D．(－∞，＋∞)

解析：選C.

冪函數爲y＝x－2＝1x2，偶函數圖象如圖．

3．給出四個說法：

①當n＝0時，y＝xn的圖象是一個點；

②冪函數的圖象都經過點(0,0)，(1,1)；

③冪函數的圖象不可能出現在第四象限；

④冪函數y＝xn在第一象限爲減函數，則n＜0.

其中正確的說法個數是()

A．1B．2

C．3D．4

解析：選B.顯然①錯誤；②中如y＝x－12的圖象就不過點(0,0)．根據冪函數的圖象可知③、④正確，故選B.

4．設α∈{－2，－1，－12，13，12，1,2,3}，則使f(x)＝xα爲奇函數且在(0，＋∞)上單調遞減的α的值的個數是()

A．1B．2

C．3D．4

解析：選A.∵f(x)＝xα爲奇函數，

∴α＝－1，13，1,3.

又∵f(x)在(0，＋∞)上爲減函數，

∴α＝－1.

5．使(3－2x－x2)－34有意義的x的取值範圍是()

A．RB．x≠1且x≠3

C．－3＜x＜1D．x＜－3或x＞1

解析：選C.(3－2x－x2)－34＝143－2x－x23，

∴要使上式有意義，需3－2x－x2＞0，

解得－3＜x＜1.

6．函數f(x)＝(m2－m－1)xm2－2m－3是冪函數，且在x∈(0，＋∞)上是減函數，則實數m＝()

A．2B．3

C．4D．5

解析：選A.m2－m－1＝1，得m＝－1或m＝2，再把m＝－1和m＝2分別代入m2－2m－3＜0，經檢驗得m＝2.

7．關於x的.函數y＝(x－1)α(其中α的取值範圍可以是1,2,3，－1，12)的圖象恆過點________．

解析：當x－1＝1，即x＝2時，無論α取何值，均有1α＝1，

∴函數y＝(x－1)α恆過點(2,1)．

答案：(2,1)

8．已知2.4α＞2.5α，則α的取值範圍是________．

解析：∵0＜2.4＜2.5，而2.4α＞2.5α，∴y＝xα在(0，＋∞)爲減函數．

答案：α＜0

9．把(23)－13，(35)12，(25)12，(76)0按從小到大的順序排列____________________．

解析：(76)0＝1，(23)－13＞(23)0＝1，

(35)12＜1，(25)12＜1，

∵y＝x12爲增函數，

∴(25)12＜(35)12＜(76)0＜(23)－13.

答案：(25)12＜(35)12＜(76)0＜(23)－13

10．求函數y＝(x－1)－23的單調區間．

解：y＝(x－1)－23＝1x－123＝13x－12，定義域爲x≠1.令t＝x－1，則y＝t－23，t≠0爲偶函數．

因爲α＝－23＜0，所以y＝t－23在(0，＋∞)上單調遞減，在(－∞，0)上單調遞增．又t＝x－1單調遞增，故y＝(x－1)－23在(1，＋∞)上單調遞減，在(－∞，1)上單調遞增．

11．已知(m＋4)－12＜(3－2m)－12，求m的取值範圍．

解：∵y＝x－12的定義域爲(0，＋∞)，且爲減函數．

∴原不等式化爲m＋4＞03－2m＞0m＋4＞3－2m，

解得－13＜m＜32.

∴m的取值範圍是(－13，32)．

12．已知冪函數y＝xm2＋2m－3(m∈Z)在(0，＋∞)上是減函數，求y的解析式，並討論此函數的單調性和奇偶性．

解：由冪函數的性質可知

m2＋2m－3＜0(m－1)(m＋3)＜0－3＜m＜1，

又∵m∈Z，∴m＝－2，－1,0.

當m＝0或m＝－2時，y＝x－3，

定義域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．

∵－3＜0，

∴y＝x－3在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是減函數，

又∵f(－x)＝(－x)－3＝－x－3＝－f(x)，

∴y＝x－3是奇函數．

當m＝－1時，y＝x－4，定義域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．

∵f(－x)＝(－x)－4＝1－x4＝1x4＝x－4＝f(x)，

∴函數y＝x－4是偶函數．

∵－4＜0，∴y＝x－4在(0，＋∞)上是減函數，

又∵y＝x－4是偶函數，

∴y＝x－4在(－∞，0)上是增函數．