圓有關的比例線段教案設計

教學建議

1、教材分析

(1)知識結構

(2)重點、難點分析

重點：相交弦定理及其推論，切割線定理和割線定理.這些定理和推論不但是本節的重點、本章的重點，而且還是中考試題的熱點;這些定理和推論是重要的工具性知識，主要應用與圓有關的計算和證明.

難點：正確地寫出定理中的等積式.因爲圖形中的線段較多，學生容易混淆.

2、教學建議

本節內容需要三個課時.第1課時介紹相交弦定理及其推論，做例1和例2.第2課時介紹切割線定理及其推論，做例3.第3課時是習題課，講例4並做有關的練3.

(1)教師透過教學，組織學生自主觀察、發現問題、分析解決問題，逐步培養學生研究性學習意識，激發學生的學習熱情;

(2)在教學中，引導學生觀察猜想證明應用等學習，教師組織下，以學生爲主體開展教學活動.

第1課時：相交弦定理

教學目標 ：

1.理解相交弦定理及其推論，並初步會運用它們進行有關的簡單證明和計算;

2.學會作兩條已知線段的比例中項;

3.透過讓學生自己發現問題，調動學生的思維積極性，培養學生髮現問題的能力和探索精神;

4.透過推論的推導，向學生滲透由一般到特殊的思想方法.

教學重點：

正確理解相交弦定理及其推論.

教學難點 ：

在定理的敘述和應用時，學生往往將半徑、直徑跟定理中的線段搞混，從而導致證明中發生錯誤，因此務必使學生清楚定理的提出和證明過程，瞭解是哪兩個三角形相似，從而就可以用對應邊成比例的結論直接寫出定理.

教學活動設計

(一)設定學習情境

1、圖形變換：(利用電腦使AB與CD弦變動)

①引導學生觀察圖形，發現規律：D，B.

②進一步得出：△APC∽△DPB.

.

③如果將圖形做些變換，去掉AC和BD，圖中線段 PA，PB，PC，PO之間的關係會發生變化嗎?爲什麼?

組織學生觀察，並回答.

2、證明：

已知：弦AB和CD交於⊙O內一點P.

求證：PAPB=PCPD.

(A層學生要訓練學生寫出已知、求證、證明;B、C層學生在老師引導下完成)

(證明略)

(二)定理及推論

1、相交弦定理： 圓內的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等.

結合圖形讓學生用數學語言表達相交弦定理：在⊙O中;弦AB，CD相交於點P，那麼PAPB=PCPD.

2、從一般到特殊，發現結論.

對兩條相交弦的位置進行適當的調整，使其中一條是直徑，並且它們互 相垂直如圖，AB是直徑，並且ABCD於P.

提問：根據相交弦定理，能得到什麼結論?

指出：PC2=PAPB.

請學生用文字語言將這一結論敘述出來，如果敘述不完全、不準確.教師糾正，並板書.

推論 如果弦與直徑垂直相交，那麼弦的一半是它分直徑所成的'兩條線段的比例中項.

3、深刻理解推論：由於圓是軸對稱圖形，上述結論又可敘述爲：半圓上一點C向直徑AB作垂線，垂足是P，則PC2=PAPB.

若再連結AC，BC，則在圖中又出現了射影定理的基本圖形，於是有：

PC2=PAAC2=APCB2=BPAB

(三)應用、反思

例1 已知圓中兩條弦相交，第一條弦被交點分爲12釐米和16釐米兩段，第二條弦的長爲32釐米，求第二條弦被交點分成的兩段的長.

引導學生根據題意列出方程並求出相應的解.

例2 已知：線段a，b.

求作：線段c，使c2=ab.

分析：這個作圖求作的形式符合相交弦定理的推論的形式，因此可引導學生作出以線段a十b爲直徑的半圓，仿照推論即可作出要求作的線段.

作法：口述作法.

反思：這個作圖是作兩已知線段的比例中項的問題，可以當作基本作圖加以應用.同時可啓發學生考慮透過其它途徑完成作圖.

練習1 如圖，AP=2釐米，PB=2.5釐米，CP=1釐米，求CD.

變式練習：若AP=2釐米，PB=2.5釐米，CP，DP的長度皆爲整數.那麼CD的長度是 多少?

將條件隱化，增加難度，提高學生學習興趣

練習2 如圖，CD是⊙O的直徑，ABCD，垂足爲P，AP=4釐米，PD=2釐米.求PO的長.

練習3 如圖：在⊙O中，P是弦AB上一點，OPPC，PC 交⊙O於C. 求證：PC2=PAPB

引導學生分析：由APPB，聯想到相交弦定理，於是想到延長 CP交⊙O於D，於是有PCPD=PAPB.又根據條件OPPC.易 證得PC=PD問題得證.

(四)小結

知識：相交弦定理及其推論;

能力：作圖能力、發現問題的能力和解決問題的能力;

思想方法：學習了由一般到特殊(由定理直接得到推論的過程)的思想方法.

(五)作業

教材P132中 9，10;P134中B組4(1).

第2課時 切割線定理

教學目標 ：

1.掌握切割線定理及其推論，並初步學會運用它們進行計算和證明;

2.掌握構造相似三角形證明切割線定理的方法與技巧，培養學生從幾何圖形歸納出幾何性質的能力

3.能夠用運動的觀點學習切割線定理及其推論，培養學生辯證唯物主義的觀點.

教學重點：

理解切割線定理及其推論，它是以後學習中經常用到的重要定理.

教學難點 ：

定理的靈活運用以及定理與推論問的內在聯繫是難點.

教學活動設計

(一)提出問題

1、引出問題：相交弦定理是兩弦相交於圓內一點.如果兩弦延長交於圓外一點P，那麼該點到割線與圓交點的四條線段PA，PB，PC，PD的長之間有什麼關係?(如圖1)

當其中一條割線繞交點旋轉到與圓的兩交點重合爲一點(如圖2)時，由圓外這點到割線與圓的兩交點的兩條線段長和該點的切線長PA，PB，PT之間又有什麼關係?

2、猜想：引導學生猜想出圖中三條線段PT，PA，PB間的關係爲PT2=PAPB.

3、證明：

讓學生根據圖2寫出已知、求證，並進行分析、證明猜想.

分析：要證PT2=PAPB， 可以證明，爲此可證以 PAPT爲邊的三角形與以PT，BP爲邊的三角形相似，於是考慮作輔助線TP，PB.(圖3).容易證明PTA=B又P，因此△BPT∽△TPA，於是問題可證.

4、引導學生用語言表達上述結論.

切割線定理 從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項.

(二)切割線定理的推論

1、再提出問題：當PB、PD爲兩條割線時，線段PA，PB，PC，PD之間有什麼關係?

觀察圖4，提出猜想：PAPB=PCPD.

2、組織學生用多種方法證明：

方法一：要證PAPB=PCPD，可證此可證以PA，PC爲邊的三角形和以PD，PB爲邊的三角形相似，所以考慮作輔助線AC，BD，容易證明PAC=D，P，因此△PAC∽△PDB. (如圖4)

方法二：要證，還可考慮證明以PA，PD爲邊的三角形和以PC、PB爲邊的三角形相似，所以考慮作輔助線AD、CB.容易證明D，又P. 因此△PAD∽△PCB.(如圖5)

方法三：引導學生再次觀察圖2，立即會發現2=PAPB，同時PT2=PCPD，於是可以得出PAPB==PCPD

推論：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等.(也叫做割線定理)

(三)初步應用

例1 已知：如圖6，⊙O的割線PAB交⊙O於點A和B，PA=6釐米，AB=8釐米， PO=10.9釐米，求⊙O的半徑.

分析：由於PO既不是⊙O的切線也不是割線，故須將PO延長交⊙O於D，構成了圓的一條割線，而OD又恰好是⊙O的半徑，於是運用切割線定理的推論，問題得解.

(解略)教師示範解題.

例2 已知如圖7，線段AB和⊙O交於點C，D，AC=BD，AE，BF分別切⊙O於點E，F，

求證：AE=BF.

分析：要證明的兩條線段AE，BF均與⊙O相切，且從A、B 兩點出發引的割線ACD和BDC在同一直線上，且AC=BD，AD=BC. 因此它們的積相等，問題得證.

學生自主完成，教師隨時糾正學生解題過程中出現的錯誤，如AE2=ACCD和BF2=BDDC等.

鞏固練習：P128練習1、2題

(四)小結

知識：切割線定理及推論;

能力：結合具體圖形時，應能寫出正確的等積式;

方法：在證明切割線定理和推論時，所用的構造相似三角形的方法十分重要，應注意很好地掌握.

(五)作業 教材P132中，11、12題.

探究活動

最佳射門位置

國際足聯規定法國世界盃決賽階段，比賽場地長105米，寬68米，足蠣趴?.32米，高2.44米，試確定邊鋒最佳射門位置(精確到l米).

分析與解 如圖1所示是足球門，點P是邊鋒所在的位置.最佳射門位置應是使球員對足球門視角最大的位置，即向P上方或下方移動，視角都變小，因此點P實際上是過A、B且與邊線相切的圓的切點，如圖1所示.即OP是圓的切線，而OB是圓的割線.

故 ，又 ，

OB=30.34+7.32=37.66.

OP=(米).

注：上述解法適用於更一般情形.如圖2所示.△BOP可爲任意角