用拼圖理解乘法公式的教案
用拼圖理解乘法公式
初中生對符號的抽象性把握不夠,乘法公式只能憑法則加以推算,學生對法則的將信將疑無以驗證,拼圖的出現無疑是一場及時雨,不僅可以使學生頭腦中的疑霧頓散,而充分體現、滲透了數形結合的數學思想。請看下面幾例:
一、用拼圖理解公式的幾何意義
理解1 將邊長爲a的正方形紙片的剪出一個邊是爲b
理解2 將邊長分別a、b的.兩個正方形和長寬爲a、b的兩個全等矩形拼成一個正方形。(1)怎樣拼?(2)用不同形式表示拼成正方形面積,你覺得以此可驗證什麼公式?
分而算之: 總而算之:
理解3 將大小相同的4塊長、寬分別爲a、b(ab)長方形紙片拼成如圖形狀,從中你能發現(a+b)2與(a-b)2關係嗎?
事實上,大正方形邊長爲a+b,小正方形邊長爲a-b,
大正方形面積 =(a+b)2,小正方形面積 =(a-b)2
(a+b)2 = (a-b)2+4ab,或者(a+b)2 -4ab = (a-b)2或者(a+b)2 -(a-b)2=4ab
二、典例剖析
例1在邊長爲a的正方形中挖去一個邊長爲b的小正方形(ab),再沿虛線剪開,如
圖1(1),然後拼成一個梯形,如圖1(2),根據這兩個圖形的面積關係,表明下列式子成立的是( ).
A.(a+b)(a-b)=a2-b2 B.(a+b)2=a2+2ab+b2
C.(a-b)2=a2-2ab+b2 D.a2-b2=(a-b)2
分析:從這個題目的條件中可以看出,把圖1(1)圖形經過剪切成爲第圖1(2)圖形,得到一個等腰梯形,它的面積爲(上底+下底)高2,上底爲2b,下底爲2a,高爲a-b,所以面積爲:(2b+2a)(a-b)2=a2-b2,所以答案爲:A.
例2如圖2(1),陰影部分的面積可以看成是大正方形的面積減去小正方形的面積,即_____.
若把小長方形Ⅲ旋轉到小長方形Ⅳ的位置,則此時的陰影部分的面積又可以看成SⅠ+SⅢ=SⅠ+SⅣ=(a+b)(a-b).從而驗證了平方差公式:_____.
如圖2(2),大正方形的面積可以表示爲____,也可以表示爲S=SⅠ+ SⅡ+ SⅢ+SⅣ,同時S=____,.從而驗證了完全平方公式:_____ .
分析:本題考查利用圖形解釋平方差和完全平方公式,體現數形幾何思想。
如圖2(1),陰影部分的面積可以看成是大正方形的面積減去小正方形的面積,即a2-b2;
若把小長方形Ⅲ旋轉到小長方形Ⅳ的位置,則此時的陰影部分的面積又可以看成SⅠ+SⅢ=SⅠ+SⅣ=(a+b)(a-b).從而驗證了平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2.
如圖2(2),大正方形的面積可以表示爲(a+b)2,也可以表示爲S=SⅠ+ SⅡ+ SⅢ+SⅣ,同時S=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2.從而驗證了完全平方公式:(a+b)2=a2+2ab+b2.
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