圓柱和圓錐教案

圓柱和圓錐教案

本單元是在認識了圓，掌握了長方體、正方體的特徵以及表面積與體積計算方法的基礎上編排的。圓柱與圓錐都是基本的幾何形體，也是生產、生活中經常遇到的幾何形體。教學圓柱和圓錐擴大了學生認識形體的範圍，增加了形體的知識，有利於進一步發展空間觀念。

全單元編排五道例題、四個練習，把內容分成四段教學。依次是圓柱與圓錐的特徵、圓柱的表面積、圓柱的體積、圓錐的體積。在單元結束時，還安排了整理與練習以及實踐活動《測量物體的體積》。

1．透過觀察、操作，認識圓柱和圓錐。

學生在第一學段已經直觀認識了圓柱，透過滾一滾、堆一堆、摸一摸等活動初步感受了圓柱的形狀與長方體、正方體有不同之處。例1先教學認識圓柱，再教學認識圓錐，要讓學生從整體上體會它們的特徵，瞭解圍成圓柱或圓錐的各個面，認識圓柱和圓錐的高，並會測量高。

教學圓柱從識別圓柱形的物體開始，因爲學生已有這樣的能力。例1的圖片裏，有些物體是圓柱形的，有些物體的一部分是圓柱形的，也有些物體不是圓柱形的。而且，在圓柱形的物體中，有的高，有的矮，有的厚，有的薄，這就爲認識圓柱提供了豐富的具體對象。

認識圓柱的教學要引導學生進行觀察、交流，同時教師要給予必要的講解。讓學生仔細觀察圓柱，發現圓柱的上、下兩個面是相同的圓形，圓柱的側面是曲面，而且圓柱上下是一樣粗的。前兩點學生容易注意到，第三點往往會疏忽，在交流的時候，要引起學生的注意。在“練一練”裏，教材安排了上、下兩個底面大小不同的杯子和木桶，兩個底面雖然相同但兩底之間粗細不同的腰鼓，還有底面是正六邊形的盒子，讓學生指出這些物體都不是圓柱形，從而加強對圓柱特徵的體驗。在學生交流圓柱特徵的過程中，教師可相機指出圓柱上、下兩個面叫做底面，圍成圓柱的曲面叫做側面，及時出現圓柱的幾何圖形，在圖形上標出圓柱的底面和側面，這是建立圓柱概念的重要一步。同時指出圓柱兩個底面之間的距離叫做高，並在圓柱的幾何圖形上標出高，既直觀地表達高的意義，又能使學生想到測量圓柱高的方法。

例題引導學生把認識圓柱的學習方法遷移到認識圓錐上來，在觀察圓錐形物體的基礎上抽象出圓錐的幾何圖形，在交流圓錐特徵的過程中認識圓錐的頂點、底面和側面。圓錐的高是教學的一個難點，因爲圓錐的高是圓錐內部的一條線段的長。教材指出從圓錐的頂點到底面圓心的距離是圓錐的高，並在圓錐的幾何圖形上用虛線畫出頂點到底面圓心的線段，幫助學生理解圓錐高的含義。

練習五的設計重視空間觀念的培養，都是動手操作的習題。第2題從正面、上面、側面觀察圓柱和圓錐，透過立體圖形與平面圖形、曲面與平面的相應轉化，加強對圓柱、圓錐特徵的體驗，發展空間觀念。第3題把長方形繞它的一條邊旋轉形成圓柱，把直角三角形繞它的一條直角邊旋轉形成圓錐，把半圓繞它的直徑旋轉形成球，讓學生在動態中感受這些幾何體，使已有的圓柱、圓錐概念得到深化。第5題利用教材附頁裏的圖形做圓柱和圓錐，體會圓柱的側面是長方形捲成的，圓錐的側面是扇形捲成的，再次經歷平面圖形變成立體的過程。同時，做成一個圓柱要兩個相同的圓，做成一個圓錐只要一個圓，再次體會圓柱與圓錐的特徵。測量做成的圓柱、圓錐的底面直徑和高，能鞏固高的概念，培養測量能力。計算圓柱、圓錐的底面周長和底面積，複習了圓的知識，爲繼續教學圓柱的表面積，圓柱和圓錐的體積做好準備。

2．在現實的情境中，探索圓柱表面積的計算方法。

圓柱的表面積是它的側面積與兩個底面面積的和，其中側面積是新知識，底面積是舊知識。爲此，教材先在例2裏教學圓柱的側面積，再在例3裏教學圓柱的表面積。

例2計算圓柱形罐頭盒側面的商標紙的面積，這個素材容易引發把商標紙剪開後看看、算算等教學活動。教材指導學生“沿着接縫剪開”，經歷展開商標紙的活動，體會圓柱的側面展開圖是一個長方形。探索圓柱側面積的計算方法，要研究展開後長方形的長、寬與圓柱的關係，讓學生在側面展開成長方形和長方形捲成側面的活動中，發現長方形的長等於圓柱的底面周長，長方形的寬等於圓柱的高。從長方形的面積計算公式，推匯出圓柱側面積的計算方法。在探索圓柱側面積算法的過程中，學生把曲面轉化成平面，開展了一系列的推理活動，空間觀念和思維能力能夠得到鍛鍊。

例3教學圓柱的表面積。教材先讓學生思考底面直徑2釐米、高2釐米的圓柱側面沿高展開，得到的長方形長和寬各是多少釐米，兩個底面是多大的圓，再在方格紙上畫出這個圓柱的展開圖。思考的過程能幫助正確地畫圖，畫圖則有助於體會表面積的含義。“側面積與兩個底面積的和”既是表面積的概念，也是計算表面積的方法。和長方體、正方體的表面積計算一樣，圓柱的表面積計算不列出公式，讓學生在理解的基礎上掌握算法，避免了記憶公式的負擔。由於圓柱的側面積已在例2教學，計算底面積是舊知識，因此例3組織學生討論算法並獨立計算。

練習六應用圓柱側面積、表面積的知識解決實際問題。第1、2題的練習重點是把實際問題抽象成數學問題，求隊鼓的鋁皮面積就是計算圓柱的側面積，求隊鼓的羊皮面積是計算圓柱的兩個底面積之和，求做一個鐵桶用的鐵皮是計算圓柱的表面積。第3題有整理知識的作用，透過計算既能區分圓柱的側面積、底面積、表面積這三個不同的概念以及不同的算法，又能整理三者的關係，進一步理解表面積的意義和計算方法。第4~9題是靈活應用圓柱側面積、表面積的知識，要聯繫實際判斷所求問題需不需要計算底面積，要算幾個底面積。

3．透過猜想—驗證探索圓柱、圓錐的體積公式。

例4教學圓柱的體積計算，分兩步進行。第一步認識底面積相等、高也相等（以下簡稱等底等高）的長方體、正方體和圓柱，第二步推導圓柱的體積公式。安排第一步教學要達到三個目的，一是認識等底等高的含義，便於判斷圓柱可以轉化成與它等底等高的長方體。二是從長方體與正方體等底等高，體積也相等的事實，引發等底等高的圓柱與長方體的體積也相等的猜想，形成把圓柱轉化成長方體的活動心向。三是複習長方體、正方體的體積公式，圓柱的體積最終也要這樣計算。這些目的要在思考和討論例題中第（1）、（2）兩個問題時實現。第二步的教學主要設計了三個活動。第一，在形成把圓柱轉化成長方體的探索思路後，展示轉化活動。學生可以看教材裏的插圖，也可以透過操作學具，明確轉化的方法與過程。第二，讓學生明白，把圓柱的底面平均分成16份，切開後拼成的是一個近似於長方體的物體。如果圓柱的底面平均分的份數越多，切開後拼成的物體越接近長方體，滲透極限思想，發展想像能力。第三，讓學生思考拼成的長方體與原來圓柱的關係，體會圓柱轉化成長方體，體積不變，底面積不變、高也沒有變。用“底面積乘高”算得的既是轉化成的長方體的體積，也是原來圓柱的體積。這是形成圓柱體積公式的推理活動。

例5教學圓錐的體積公式。教材首先出示等底等高的圓柱和圓錐，讓學生直觀估計圓錐的體積是圓柱的幾分之幾。進行這個估計是形成一個猜想，如果等底等高的圓柱和圓錐的體積之間存在確定的倍數關係，就可以利用圓柱的體積計算圓錐的體積。然後驗證估計，探索等底等高的圓柱和圓錐的體積關係。例題把驗證活動分三步進行。第一步指導學生選擇實驗器具：等底等高的圓柱形容器和圓錐形容器。左圖把圓錐形容器放到圓柱形容器的上面，容易比出底面積是否相等。右圖把圓柱形容器和圓錐形容器靠近着放在同一桌面上，容易比出高是否相等。第二步指導倒沙活動：在圓錐形容器裏裝滿沙子，倒入圓柱形容器。從“3次正好倒滿”證實圓柱形容器的容積是等底等高的圓錐形容器的3倍，也就是圓錐體積是等底等高的圓柱的1/3。第三步進行推理，把實驗的結論用數學式子表示，最終得出圓錐的體積公式。

猜想—驗證是發現規律、創新知識的常用策略，教材從教學內容的特點和學生的實際能力出發，把圓柱和圓錐體積公式的教學設計成鼓勵猜想—引導驗證的過程，有利於培養學生的學習能力和科學態度。

練習七和練習八里應用圓柱、圓錐的體積計算知識解決實際問題。計算圓柱的表面積，計算圓柱和圓錐的體積都要進行乘法計算。從過去的教學中我們發現，這一單元的計算學生經常出現錯誤。對此，教學應採取三點措施：一是營造良好的計算氛圍，每次作業的題量不宜過多，給學生的時間要充分，在心理負擔較輕的狀態下能減少計算錯誤。保持安靜，在無干擾的環境中專心計算也能減少錯誤。二是較繁的計算使用計算器，通常情況下，三位數乘一位數、三位數乘兩位數可以採用筆算，位數更多的數的乘法計算可以用計算器。如果讓學生進行過繁的四則計算，不僅容易出錯，而且消耗了大量的精力和時間，沒有必要。三是指導簡便計算，在半徑（或直徑）的長度數是5、15、25，高的長度數是2、4、8時，經常可以應用乘法運算律使計算簡便。

4．測量形狀不規則的物體的體積。

長方體、正方體、圓柱和圓錐的體積都有計算公式，生活中還有大量不是這些形狀的物體，它們的體積怎樣測量呢？實踐活動《測量物體的體積》引導學生研究這個問題。

把土豆或鐵塊放入盛水的圓柱形容器裏進行測量是一種方法，這種方法把不規則形體轉化成規則形體，利用計算圓柱體積的方法解決了問題。透過質量除以比重（質量和體積的比值）求體積也是一種方法，這種方法不依賴體積計算公式。教材沒有把兩種方法直接告訴學生，而是安排操作活動，讓學生在活動過程中想到和理解這些方法。對於第一種方法，要依次測量圓柱容器的底面積、放入土豆前的水面高度和放入土豆後的水面高度，直觀體會容器中水面上升所形成的那段圓柱的體積就是土豆的體積，感悟“等積變形”的轉化思想。利用這種方法測量土豆的體積以後，還要再測量兩個鐵塊的體積，爲第二種測量方法積累數據資料。對於第二種方法，兩個鐵塊的體積已經測得，再用天平稱出它們的質量就能填表。透過計算髮現一個鐵塊的質量與體積的比值和另一個鐵塊的質量與體積的比值相等。如果測量和計算都正確，這個比值應該約是7.8。要讓學生理解這個比值的具體意思是“1立方厘米鐵塊大約重7.8克”，這樣，第三個鐵塊的體積就可以稱出質量後用除法計算了。