數的整除問題奧數試題及答案
試問,能否將由1至100這100個自然數排列在圓周上,使得在任何5個相連的數中,都至少有兩個數可被3整除?如果回答:“可以”,則只要舉出一種排法;如果回答:“不能”,則需給出說明.
考點:數的整除特徵.
分析:根據題意,可採用假設的'方法進行分析,100個自然數任意的5個數相連,可以分成20個組,使得在任何5個相連的數中,都至少有兩個數可被3整除,那麼會有40個數是3的倍數,事實上在1至100的自然數中只有33個是3倍數,所以不能.
解答:假設能夠按照題目要求在圓周上排列所述的100個數,
按所排列順序將它們每5個分爲一組,可得20組,
其中每兩組都沒有共同的數,於是,在每一組的5個數中都至少有兩個數是3的倍數.
從而一共會有不少於40個數是3的倍數.但事實上在1至100的這100個自然數中只有33個數是3的倍數,
導致矛盾,所以不能.
答:不能.
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