三角形教學設計
在本章中約定用A,B,C分別表示△ABC的三個內角,a, b, c分別表示它們所對的.各邊長, 爲半周長。
1.正弦定理: =2R(R爲△ABC外接圓半徑)。
推論1:△ABC的面積爲S△ABC=
推論2:在△ABC中,有bcsC+ccsB=a.
推論3:在△ABC中,A+B= ,解a滿足 ,則a=A.
正弦定理可以在外接圓中由定義證明得到,這裏不再給出,下證推論。先證推論1,由正弦函數定義,BC邊上的高爲bsinC,所以S△ABC= ;再證推論2,因爲B+C= -A,所以sin(B+C)=sinA,即sinBcsC+csBsinC=sinA,兩邊同乘以2R得bcsC+ccsB=a;再證推論3,由正弦定理 ,所以 ,即sinasin( -A)=sin( -a)sinA,等價於 [cs( -A+a)-cs( -A-a)]= [cs( -a+A)-cs( -a-A)],等價於cs( -A+a)=cs( -a+A),因爲0< -A+a, -a+A< . 所以只有 -A+a= -a+A,所以a=A,得證。
2.餘弦定理:a2=b2+c2-2bccsA ,下面用餘弦定理證明幾個常用的結論。
(1)斯特瓦特定理:在△ABC中,D是BC邊上任意一點,BD=p,DC=q,則AD2= (1)
【證明】 因爲c2=AB2=AD2+BD2-2ADBDcs ,
所以c2=AD2+p2-2ADpcs ①
同理b2=AD2+q2-2ADqcs , ②
因爲 ADB+ ADC= ,
所以cs ADB+cs ADC=0,
所以q×①+p×②得
qc2+pb2=(p+q)AD2+pq(p+q),即AD2=
注:在(1)式中,若p=q,則爲中線長公式
(2)海倫公式:因爲 b2c2sin2A= b2c2 (1-cs2A)= b2c2 [(b+c) -a2][a2-(b-c) 2]=p(p-a)(p-b)(p-c).
這裏
所以S△ABC=
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