高等數學教學反思論文

摘要：高等數學作爲一門基礎性學科，在高校教學中具有舉足輕重的地位。從基本概念講解和知識的綜合應用兩個方面介紹了在本科生高等數學教學中的體會與思考。

關鍵詞：高等數學;基本概念;綜合應用能力

高等數學是高校教學中的一門重要課程，也是大多數剛踏入大學校園的本科生必修的一門課程。隨着高校規模的進一步擴大，學生的素質和水平參差不齊，而高等數學又是一門理論性強、具有嚴密邏輯思維性的基礎學科，因此要求每位高等數學教師要切實重視這門課的教學。要想學生真正喜歡上這門課，並且很好地掌握這門課，就需要不斷提高教師的教學質量。

高等數學基礎性強、理論性強、邏輯性強，它的推理、證明、數據演算等必須經得起推敲，容不得半點虛假。爲了避免出現“一聽就會，一做就錯”、生搬硬套、遇到實際問題不會分析的狀況，在高等數學的課堂教學中要從基本概念、基礎知識出發，逐步培養學生的分析、推理能力和綜合應用能力。

本文就談一下筆者在高等數學教學中的體會與思考。

一、注重基本概念的講解

數學概念是人類對現實世界的空間形式和數學關係的簡明概括，它是推導定理、公式、法則的出發點，是建立理論體系的着眼點，是數學教學的核心內容。但是許多學生在學習高等數學的過程中不注重課堂教師概念的講解，只偏重於解題。一看到題目，如果題目曾經見過，不管條件如何就開始生搬硬套;如果題目沒有見過就發呆愣神，根本不會分析推理。因此，在課堂教學中，一定要注重概念的理解，而不是將一個個抽象的概念“冰冷冷”地放在那兒，教師應該將知識體系很好地連貫起來，同時將所學內容與實際生活結合起來，能夠生動形象地組織教學。

基本概念的引入和數學史結合

在講解基本概念的時候，穿插一些數學史的內容，一方面可以加深學生對數學的興趣，另一方面也可以加深對概念的理解。例如，在講解“導數”概念的時候，首先引入一些數學史的內容。

到了17世紀，有許多問題需要解決，這些問題也就是促使微積分產生的因素。歸結起來，大約有四種主要類型的問題：第一類是求即時速度問題;第二類是求曲線的切線問題;第三類是求函數的最大值與最小值問題;第四類是求曲線長、曲線圍成的面積、曲面圍成的體積、物體重心的問題。這些問題在當時得到廣泛的關注，許多著名的數學家、物理學家、天文學家都提出了許多很有建樹的理論，爲微積分的創立作出了貢獻。

17世紀下半葉，在前人工作的基礎上，英國大科學家牛頓和德國數學家萊布尼茨分別在自己的國度裏獨自研究和完成了微積分的創立工作，雖然這只是十分初步的工作，他們最大的功績是把兩個貌似毫不相關的問題聯繫在一起，一個是切線問題(微分學的中心問題)，一個是求積問題(積分學的中心問題)。

牛頓和萊布尼茨建立微積分的出發點是直觀的無窮小量，因此這門學科早期也稱爲無窮小分析，這正是現在數學中分析學這一大分支名稱的來源。牛頓研究微積分着重於從運動學來考慮，萊布尼茲卻側重於幾何學來考慮。

這一段數學史的講解，首先爲緊接着引入“導數”概念時給出兩個引例(直線運動的速度和曲線的切線)做好了鋪墊，也引入導數概念的出發點——直觀的無窮小量，與上一章的極限概念結合起來。其次，17世紀要解決的前三個問題，也就是導數這一部分重點要解決的問題，開篇就把該章的主要框架給出。第四個問題爲後面積分學的引入埋下了伏筆。介紹牛頓和萊布尼茲的主要貢獻，爲定積分求解公式稱爲牛頓-萊布尼茨公式給出了合理的解釋。

一段數學史的引入既讓學生了解了微積分的發展，調動了學生學習興趣，也可以更好地銜接課堂內容，何樂而不爲呢?2.基本概念和實際相結合在講解級數這一部分內容時，學生總覺得枯燥、抽象，感覺就是一些運算，並沒有什麼實際的應用。

講解時，首先給出一個有名的悖論“Achilles(傳說中的希臘英雄)追趕烏龜”：設烏龜在Achilles前面A米處向前爬行，Achilles在後面追趕，當Achilles花了a秒時間跑完A米時，烏龜已向前爬了B米;

當Achilles再花b秒時間跑完B米時，烏龜又向前爬了C米，……這樣的過程可以一直繼續下去，因此Achilles永遠也追不上烏龜。

顯然這一結論有悖於常理，是絕對荒謬的，可是如何用數學語言解釋清楚呢?這樣一個悖論可以調動學生積極思考。在思考的過程中，引入級數的概念。接着講解級數的一些基本性質，從而再給出一些級數在實際中的應用，例如：一慢性病人需每天服用某種藥物，按醫囑每天服用0.05mg，設體內的藥物每天有20%透過各種渠道排泄，問長期服藥後體內藥量維持在怎麼樣的水平?透過對於級數的計算可以得到長期服藥後體內藥量近似爲：0.05 10.25m g5454542 3#8 ++`j +`j+gB=而在實際病例中，醫生往往根據病人的病情，考慮體內藥量水平的需求，確定病人每天的服藥量。如一慢性病人需長期服藥，按照病情，體內藥量需維持在0.2mg，設體內藥物每天有15%透過各種渠道排泄掉，問該病人每天的服藥劑量應該爲多少?[2]這樣聲情並茂、理論聯繫實際的一節課就可以讓學生既思考了問題，又可以掌握基本知識，同時還激發了學生對抽象數學的興趣，收到事半功倍的效果。

二、注重知識的綜合應用

高等數學現行教材中的很多例題，由於篇幅原因一般只有題目的解答過程卻沒有思考過程，因此愛問問題的學生往往會問，如果是自己解題的話，怎麼會這樣想呢?這個疑問就是授課教師在講解題目時重點要解決的'。也就是說，授課教師不但要把解題的過程講解清楚，還要從解題思路方面進行引導，指導學生怎樣運用所學知識獨立尋找解題思路，也就是邏輯思維能力的培養。

例如在講中值定理這一節時，有例題：設在區間I上恆有：f( x )f( x )2x x ,x ,x I1 2 1 221 2-G-!證明此函數在I上爲常數函數。

學生本來對證明題就有一種畏難情緒，一見到是抽象函數的證明題，更是無從下手，一頭霧水了。這時教師不能直接講解題過程，而是要逐步分析、理解，讓學生給出解題過程。

首先幫助他們分析題意，引導學生逐步思考。要想證明一個函數爲常數函數，由拉格朗日中值定理可知，“如果函數在區間I上的導數恆爲零，那麼函數在區間I上是一個常數”，因此只要證明“在區間I上，函數的導數均爲零”。

講到此處，給學生一個思考的餘地，讓他們試着去選擇方法，看看如何證明函數的導數爲零。於是學生在思路的引導下會進一步考慮。很多學生會選擇拉格朗日中值定理，將左邊函數值的差轉化爲和導數相關的量。此時教師就可以趁勢鼓勵他們想着要去轉化左邊的式子，非常正確。但是轉化的過程要利用拉格朗日中值定理，那麼條件滿足嗎?在拉格朗日中值定理中要求所考慮的函數在閉區間內連續，對應的開區間上可導，定理中的兩個條件缺一不可，而這個題目中並沒有給出函數的連續性和可導性。那要怎麼處理呢?如果想出現導數形式，就可以從導數的基本定義出發進行分析。導數是差商的極限，反映的是變化率。

左端只給出了函數值的差，那麼自然想着要和自變量的差結合，出現差商形式，將所給等式變形爲：()()x xf x f x2x x1 21 21 2G---而導數是一種極限形式，進而不等式兩邊取極限，利用夾逼準則結合極限的性質，所證結論成立。

透過逐步分析，問題就迎刃而解了。這個分析題的過程既有學生的參與，也有教師的講解，利用條件和基本概念逐步分析就是對學生推理思維訓練的過程。對學生來說收穫更大。由這個題目的分析求解過程可以發現這是一道綜合性較強的題目，需要學生對每個知識點——拉格朗日中值定理、導數定義、夾逼準則以及極限的性質必須要熟練掌握，然後纔會融會貫通。

數學的題目千變萬化，永遠做不完。這就要求學生對基本概念掌握紮實，每個知識點要理解清楚。在題目的分析過程中，對基本概念和知識點融會貫通，逐步培養自己的邏輯分析、綜合思維的能力。那麼無論碰到什麼樣的題目類型都可以獨立思考，逐步分析，尋找合適的解題方法。

總而言之，高等數學的教學是需要一個過程的，在這個過程中，教師只有不斷提高自己的數學素養和教學能力，才能把高等數學這門課講好，才能逐步激發學生學習的興趣和樂趣，達到教與學的雙贏。

參考文獻：

[1]卡茨.數學史通論[M].李文琳,等,譯.北京:高等教育出版社,2006.

[2]陳紀修,於崇華,金路.數學分析(下冊)[M].北京:高等教育出版社,2004.

[3]同濟大學數學教研室.高等數學(上冊)[M].北京:高等教育出版社,2007.