《提公因式法》數學教案

《提公因式法》數學教案

教學目標

1．使學生瞭解因式分解的意義，理解因式分解的概念及其與整式乘法的區別和聯繫．

2．使學生理解提公因式法並能熟練地運用提公因式法分解因式．

3．透過學生自行探求解題途徑，培養學生觀察、分析和創新能力，深化學生逆向思維能力.

教學重點及難點

教學重點：

因式分解的概念及提公因式法．

教學難點：

正確找出多項式各項的公因式及分解因式與整式乘法的區別和聯繫．

教學過程：

一、複習提問

乘法對加法的分配律．

二、新課

1．新課引入：用類比的方法引入課題．

在學習分數時，我們常常要進行約分與通分，因此常常要把一個數分解因數(即分解約數)．例如，把15分解成3×5，把42分解成2×3×7．

在第七章我們學習了整式的乘法，幾個整式相乘可以化成一個多項式，那麼一個多項式如何化成幾個整式乘積的形式呢？這一章就是學習如何把一個多項式化成幾個整式的積的方法．

2．因式分解的概念：

請學生每人寫出一個單項式與多項式相乘、多項式與多項式相乘的例子，並計算出其結果．(老師按學生所說在黑板寫出幾個．)

如：m(a+b+c)＝ma+mb+mc

2xy(x-2xy+1)=2x2y-4x2y2+2xy

(a+b)(a-b)＝a2-b2

(a+b)(m+n)＝am+an+bm+bn

(x-5)(2-x)＝-x2+7x-10 等等．

再請學生觀察它們有什麼共同的特點？

特點：左邊，整式×整式；右邊，是多項式．

可見，整式乘以整式結果是多項式，而多項式也可以變形爲相應的整式與整式的乘積，我們就把這種多項式的變形叫做因式分解．

定義：把一個多項式化爲幾個整式的積的'形式，叫做把這個多項式因式分解，也叫做把這個多項式分解因式．

如：因式分解：ma+mb+mc＝m(a+b+c)．

整式乘法：m(a+b+c)＝ma+mb+mc．

讓學生說出因式分解與整式乘法的聯繫與區別．

聯繫：同樣是由幾個相同的整式組成的等式．

區別：這幾個相同的整式所在的位置不同，上式是因式分解；下式是整式乘法．兩者是方向相反的恆等變形，二者是一個式子的不同表現形式，一個是多項式的表現形式，一個是兩個或幾個因式積的表現形式．

例1 下列各式從左到右哪些是因式分解？（投影）

(1)x2-x＝x(x-1) (√)

(2)a(a-b)＝a2-ab (×)

(3)(a+3)(a-3)＝a2-9 (×)

(4)a2-2a+1＝a(a-2)+1 (×)

(5)x2-4x+4＝(x-2)2 (√)

下面我們學習幾種常見的因式分解方法．

3．提公因式法：

我們看多項式：ma+mb+mc

請學生指出它的特點：各項都含有一個公共的因式m，這時我們把因式m叫做這個多項式各項的公因式．

注意：公因式是各項都含有的公共的因式．

又如：a是多項式a2-a各項的公因式．

ab是多項式5a2b-ab2各項的公因式．

2mn是多項式4m2np-2mn2q各項的公因式．

根據乘法的分配律，可得

m(a+b+c)＝ma+mb+mc，

逆變形，便得到多項式ma+mb+mc的因式分解形式

ma+mb+mc＝m(a+b+c)．

這說明，多項式ma+mb+mc各項都含有的公因式可以提到括號外面，將多項式 ma+mb+mc寫成m(a+b+c)的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法．

定義：一般地，如果多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提到括號外面，將多 項式寫成因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法．

顯然，由定義可知，提公因式法的關鍵是如何正確地尋找公因式．讓學生觀察上面的公因式的特點，找出確定公因式的萬法：(1)公因式的係數應取各項係數的最大公約數：(2)字母取各項的相同字母，而且各字母的指數取次數例2 指出下列各多項式中各項的公因式：

(1)ax+ay+a (a)

(2)3mx-6mx2 (3mx)

(3)4a2+10ah (2a)

(4)x2y+xy2 (xy)

(5)12xyz-9x2y2 (3xy)

例3 把8a3b2-12ab3c分解因式．

分析：分兩步：第一步，找出公因式；第二步，提公因式．

先引導學生按確定公因式的方法找出多項式的公因式4ab2．

解：8a3b2-12ab3c=4ab2·2a2-4ab2·3bc=4ab2(2a2-3bc)．

說明：

(1)應特別強調確定公因式的兩個條件以免漏取．

(2)開始講提公因式法時，最好把公因式單獨寫出．①以顯提醒；③強調提公因式；③強調因式分解．

例4 把3x2-6xy+x 分解因式．

分析：先引導學生找出公因式x，強調多項式中x=x·1．

解：3x2-6xy+x

=x·3x-x·6y+x·1

＝x(3x-6y+1)．

說明：當多項式的某一項恰好是公因式時，這項應看成它與1的乘積，提公因式後剩下的應是1，1作爲項的係數通常可以省略，但如果單獨成一項時，它在因式分解時不能漏掉，這類題常常有些學生犯下面的錯誤，3x2-6xy+x=x(3x-6y)，這一點可讓學生利用恆等變形分析錯誤原因．還應提醒學生注意：提公因式後的因式的項數應與原多項式的項數一樣，這樣可以檢查是否漏項．

課堂練習：（投影）

把下列各式分解因式：

(l)2πR+2πr；

(2)

(3)3x3+6x2；

(4)21a2+7a；

(5)15a2+25ab2；

(6)x2y+xy2-xy．

例5 把-4m3+16m2-26m分解因式．

分析：此多項式第一項的係數是負數，與前面兩例不同，應先把它轉化爲前面的情形便可以因式分解了，所以應先提負號轉化，然後再提公因式，提"-"號時，注意添括號法則．

解：-4m3+16m2-26m

＝-(4m3-16m2+26m)

＝-2m(2m2-8m+13)．

說明：透過此例可以看出應用提公因式法分解因式時，應先觀察第一項係數的正負，負號時，運用添括號法則提出負號，此時一定要把每一項都變號；然後再提公因式．

課堂練習：（投影）

把下列各式分解因式：

(1)-15ax-20a；

(2)-25x8+125x16；

(3)-a3b2+a2b3；

(4)-x3y3-x2y2-xy；

(5)-3ma3+6ma2-12ma；

(6)

三、小結

1．因式分解的意義及其概念．

2．因式分解與整式乘法的聯繫與區別．

3．公因式及提公因式法．

4．提公因式法因式分解中應注意的問題．

四、作業

教材 P．10中 1、2、3、4．

五、板書設計