圓錐曲線方程教學的改進

人教版《全日制普通進階中學教科書·數學》第二冊（上）在第八章介紹了“圓錐曲線方程”。在對“雙曲線”教學的處理上，筆者有三處改進意見。

一、一個教學實驗

對教材第106頁例2的教學，筆者在所任教的兩個班做了這樣一個實驗：在甲班按教材上的解法向學生講解，不到10分時間完成該題的講解；在乙班提前兩天佈置了這樣一道作業題：

解方程組

學生對此方程組的解法有下列6種：

解法1：

由①×＋②，得a2＝16。

把a2＝16代入①，得b2＝9（下略）。

解法2：

由①－②，得－＝0，

即a2＝。

把a2＝代入①，得b2＝9，把b2＝9代入a2＝，得a2＝16（下略）。

解法3：

由①，得32b2－9a2＝a2b2。③

由②，得400b2－81a2＝16a2b2。④

由③×16－④，得16b2－9a2＝0，即a2＝（下略）。

解法4：

由①，得＝。

把＝代入②，得－＝1，即a2＝16（下略）。

解法5：令m＝a2，n＝b2，

則原方程組化爲

（下略）。

解法6：令x＝，y＝，則原方程組化爲

解這個方程組，得

即a2＝16，b2＝9（下略）。

當講到教材第106頁例2時，與學生一起列出方程組

學生看到這個方程組後，聯想到兩天前所做的作業，他們議論紛紛，有的學生的解法與教材一致，有的學生的解法與教材不一致。筆者用投影儀顯示作業中6種不同的解法，學生認真分析6種不同的解法。──透過一個簡單的問題調動了他們學習數學的積極性。筆者沒有就此罷休，及時提出對例題解法有沒有值得改進的地方，教室一下子就安靜下來了，大家都在積極思考着這個問題。過了一會兒，有的學生就擡起頭看着老師，這說明他們已經找到了答案。學生受教材中方程組的啓發，認爲此題可以直接設所求雙曲線方程爲my2－nx2＝1（m＞0，n＞0），這樣設計計算量較小。其實當橢圓或雙曲線中心在原點且對稱軸爲座標軸時，設爲Ａx2＋by2＝1的形式計算量更小。在乙班完成這一例題的講解用的時間是甲班的2倍，而乙班課堂氣氛和學習效果是甲班所不能比的。

在甲班的教學基本上照本宣科，僅用了待定係數法和換元法；而在乙班，除了用待定係數法和換元法，還用了整體代換思想、加減消元法、消常數法等數學思想方法，更可貴的是，學生受教材解題過程的啓示，認爲直接設my2－nx2＝1（m＞0，n＞0）可使計算量減小。

透過這一實驗，可以得到一些有益的啓示：1．可不時將後學內容置前。將學生還沒有學到但可以解決的局部問題置前，讓他們自己解決，這樣做可以充分調動學生的學習積極性，避免教材和教師的侷限性，還可以培養學生的'創造性思維能力，學生對某些問題的解決，往往可以超出教師的想象。2．要充分重視教材中例題的教學。當前高中數學教學有一種不良傾向，認爲教材中的例習題太容易，而高考題目太難，於是在上新課時，對教材例題講解不夠重視，而是草草了事，然後補充大量較難例題佔用課堂時間。其實這樣做不可取，教材例題是教材編者精心挑選的，是數學題目的精品，如果不好好利用它們，實在是巨大浪費。對教材例題不深入鑽研就不知道它的價值。3．學生自己能夠解決的問題要堅決讓學生自己解決。由於學生解決問題的途徑多而且有些十分巧妙，如果教師代替學生來解決問題，往往會淹沒學生很多好的解法。一定要相信學生是聰明的。

二、雙曲線漸近方程的證明改進

對於雙曲線漸近方程的證明，教材採用的是間接法，也可以直接證明。

先取雙曲線在第一象限內的部分，這一部分的方程可寫爲

y＝（x＞a）。

設Ｍ（m＞a）是它上面的點，由點到直線距離公式，可得Ｍ到直線y＝x的距離

d＝

＝。

當x逐漸增大時，m逐漸增大，m＋逐漸增大，當m無限增大，m＋無限增大，d接近於0，就是說，雙曲線在第一象限的部分從射線ＯＮ的下方逐漸接近於射線ＯＮ。

在其他象限內，也可以證明類似的情況。我們把兩條直線y＝±x叫做雙曲線的漸近線。

三、一個例題教學設計的改進

例雙曲線型自然通風塔的外形，是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉所成的曲面（圖1），它的最小半徑爲12m，上口半徑爲13m，下口半徑爲25m，高55m，選擇適當的座標，求出此雙曲線的方程（精確到1m）（教材第111頁例2）。

解：如圖2建立直角座標系xＯy，使小圓的直徑ＡＡ′在x軸上，圓心與原點重合。這時，上、下口的直徑ＣＣ′、ＢＢ′平行於x軸，且｜ＣＣ′｜＝13×2，｜ＢＢ′｜＝25×2。

設雙曲線的方程爲－＝1（a＞0，b＞0），令點Ｃ的座標爲（13，y1），點Ｂ的座標爲（25，y2），因爲點Ｂ、Ｃ在雙曲線上，所以－＝1，－＝1。

又y1＞0，y2＜0，所以y1＝b，y2＝b。

而y1－y2＝55，所以b＝55，

即b＝≈25。

從而所求雙曲線方程爲－＝1。

上述解法與教材的區別是：設Ｂ點和Ｃ點方式不一樣，教材中解方程時計算量相當大，而上面的解法只需用計算器算出即可。

在解析幾何中，解題計算量是一個難點，合理設所求曲線方程或點的座標，可以減少計算量。