用數學的思維方式教數學論文

數學的概念和定理比較多，而且比較抽象，數學的證明要進行邏輯推理，做數學題需要掌握概念、定理和方法，這些使得不少學生感到數學比較難學。通常的數學教學一開始給出數學概念的定義，接着寫出有關的定理，然後對定理進行證明。這種教學方式可以讓學生學到數學的概念和定理，可以訓練學生的邏輯推理能力。但是學生不知道概念是怎麼提出來的，不知道定理是怎麼發現的，因此培養不出學生的創新能力。本人根據四十多年的教學和科研工作的經驗，用數學的思維方式教數學就可以既使數學比較好學，又可以在教學的過程中培養學生的創新能力。

數學的思維方式是一個全過程：觀察客觀現象，抓住主要特徵，抽象出概念；提出要研究的問題，運用“解剖麻雀”、直覺、歸納、類比、聯想和邏輯推理等進行探索，猜測可能有的規律；經過深入分析，只使用公理、定義和已經證明了的定理進行邏輯推理來嚴密論證，揭示出事物的內在規律，從而使紛繁複雜的現象變得井然有序。

用數學的思維方式教數學，我們的主要做法有以下幾點。

1.觀察客觀現象自然而然地引出概念，講清楚爲什麼要引進這些概念

線性空間的概念是高等代數中最重要的概念之一。我們讓學生觀察幾何空間（以定點0爲起點的所有向量組成的集合）中有加法和數量乘法運算，並且滿足8條運算法則；向量的座標是3元有序實數組，爲了用座標來做向量的加法和數量乘法運算，很自然地在所有3元有序實數組組成的集合R3中引進加法和數量乘法運算，並且也滿足8條運算法則。幾何空間是3維空間，時一空空間是4維空間。有沒有維數大於4的空間？爲了對數域K上的n元線性方程組直接從係數和常數項判斷它有沒有解和有多少解，從矩陣的初等行變換把線性方程組的增廣矩陣化成階梯形矩陣可以判斷線性方程組的解的情況受到啓發，很自然地在所有n元有序數組組成的集合Kn中引進加法和數量乘法運算，並且也滿足8條運算法則。Kn就是一個n維空間。我們抓住幾何空間，R3，Kn的共同的主要特徵：“有加法和數量乘法運算，並且滿足8條運算法則”，便自然而然地引出了線性空間的概念。爲了使線性空間爲數學、自然科學和社會科學的研究提供廣闊天地，需要把線性空間的結構搞清楚。

幾何空間的結構是，任意取定3個不共面的向量，空間中任一向量都可以由它們線性表出，並且表示方式唯一。由此受到啓發，對於線性空間V，如果有一族向量S使得V中每一個向量都可以由S中有限多個向量線性表出，並且S是線性無關的（這保證了表法唯一），那麼稱S是V的一個基。基是研究線性空間的結構的第一條途徑。

幾何空間中給了過定0的一個平面和過定點0與n相交的一條直線1。在n上取兩個不共線的向量dpd2,在1上取一個非零向量d3，則^丸是幾何空間的一個基。於是幾何空間的每一個向量可以唯一地表示成n上的一個向量與1上的一個向量的和。由此引出了線性空間V的子空間的直和的概念；猜測並且證明了線性空間V等於它的若干個子空間％,…，Vm的直和當且僅當％的一個基Vm的一個基合起來是V的一個基。直和分解是研究線性空間的結構的第二條途徑。

幾何空間的每一個向量對應於它在給定的一個基下的座標是幾何空間到R3的一個雙射，並且它保持加法和數量乘法運算。由此受到啓發，引出了線性空間的同構的概念；猜測並且證明了數域K上的n維線性空間都與Kn同構。線性空間的同構是研究線性空間的結構的第三條途徑。

幾何空間J中給了過定點0的一個平面&，則與％平行或重合的所有平面給出了幾何空間J的一個劃分。由此受到啓發，數域K上的線性空間V中，給了一個子空間W，在V上建立一個二元關係：13?a當且僅當13-aGW。容易證明這是V上的一個等價關係。於是所有等價類組成的集合就給出了V的一個劃分，這個集合也稱爲V對於W的商集，記作V/W。在V/W中可以規定加法和數量乘法運算，並且滿足8條運算法則，從而V/W成爲數域K上的一個線性空間，稱它爲V對於W的商空間。幾何空間J中與過定點0的平面&平行或重合的所有平面組成的集合是J對於A的商空間。過點0作與&相交的一條直線1，則把與&平行或重合的每一個平面對應於這個平面與1的交點是商空間J/&到直線1的一個雙射，並且它保持加法和數量乘法運算，從而商空間J/&與直線1同構。於是

dim(J/兀0)=dim1=1=3-2=dimJ-dim兀0.

由此受到啓發，我們猜測並且證明了對於數域K上的n維線性空間V有

dim(V/W)=dimV-dimW.

這使得我們可以利用數學歸納法證明線性空間中有關被商空間繼承的性質的結論。

在商空間J/&中取一個基令1是過點0且方向爲兩的直線，則J=7TQ?1。由此受到啓發，我們猜測並且證明了對於數域K上的線性空間V和它的一個子空間W，如果商空間V/W有一個基Pi+W，…，pt+w,令U是由V中的向量組p!,…，pt生成的子空間，那麼V=W?U，並且p!,…，pt是U的一個基。這表明只要商空間V/W是有限維的，並且知道了商空間V/W的一個基，那麼線性空間V就有一個直和分解式。

上述兩方面表明商空間是研究線性空間的結構的第四條途徑。

2.提出要研究的問題，探索並且論證可能有的規律

高等代數研究的一個重要問題是對於域F上n維線性空間V上的線性變換A，能不能找到V的一個基，使得A在此基下的矩陣具有最簡單的形式？

如果能找到V的一個基使得線性變換A在此基下的矩陣是對角矩陣，那麼稱A可對角化。直接計算可得，A可對角化的充分必要條件是A有n個線性無關的特徵向量。由此可得，A可對角化的充分必要條件是V能分解成A的特徵子空間的直和：…?V、，其中,▽&是A的全部不同的特徵值。

對於不可對角化的線性變換A，它的最簡單形式的矩陣表示是什麼樣子？從A的特徵子空間的定義受到啓發，引出A的不變子空間的概念。類比A可對角化的充分必要條件是V能分解成A的特徵子空間的直和，我們去探索：如果V能分解成A的不變子空間的直和，那麼在每個不變子空間中取一個基，它們合起來是V的一個基，A在此基下的矩陣是一個分塊對角矩陣。於是解決A的最簡單形式的矩陣表示的問題分爲兩步。

第一步去尋找A的非平凡不變子空間，使得它們的和是直和，並且等於V。利用“如果V上的線性變換B與A可交換，那麼B的核KerB是A的不變子空間”這個結論，對於域F上的任意一個一元多項式f(x)，不定元x用A代入，得到的f(A)與A可交換，從而Kerf(A)是A的不變子空間。fjx)與f2(x)滿足什麼條件才能使Kerfi(A)+Kerf2(A)是直和呢？這隻要Ker4(八)門Kerf2(A)=0?直覺猜測若fjx)與f2(x)互素，是否有可能滿足這個要求？此時存在u(x),v(x)eFW使得u(x)f2(x)=1。於是不定元X用A代入便得到u(A)_+,講)=1.

從而若eeKerfi(A)nKerf2(A)，貝ijP=IP=u(A)fi(A)P+v(A)f2(A)13=0。因此

Kerf]_(A)flKerf2(A)=0，從而Ker(A)+Kerf2(A)是直和。這個和等於什麼呢？從上面的恆等變換I的分解式受到啓發，令任取aGKerf(A),有

a=Ia=U(A)fi(A)a+v(A)f2(A)a.

令a廣V(A)f2(A)a，a2=u(A)f1(A)a，則a=aa2,JLf1(A)a^=0,f2(A)a2=0。因此Kerf(A)=Kerf^A)?Kerf2(A)。由此受到啓發，設fi(x),…，fs(x)eF[x],且它們兩兩互素，令fOOzfJx)…fs(X)，則用數學歸納法可以證明Kerf(A)=Kerfx(A)?...?Kerfs(A).

由於KerO=V，因此若f(x)使得f(A)=0，貝ljV=Kerfi(A)?…?Kerfs(A).

這就把V分解成了A的若干個非平凡不變子空間的直和。

域F上的一個一元多項式f(；x)如果使得f(A)=0，那麼稱f(；x)是A的一個零化多項式。容易證明域F上的n維線性空間V上的任一線性變換A都有零化多項式。還可以證明線性變換A的特徵多項式就是A的一個零化多項式。事物的臨界狀態往往決定事物的本質。於是我們考慮A的所有非零的零化多項式中次數最低且首項係數爲1的多項式m(；A)，稱它爲A的最小多項式。如果m(A)在F[A]中的標準分解式爲m(2)=(A-Al)k---(A-A^)ls,那麼V=Ker(A-I)*i?…?Ker(A-XSI)^.

記Wj=Ker((A-XjI)1)，則V=?...?Ws。於是在Wj中取一個基，j=1,2,…，s,它們合起來是V的一個基，A在此基下的矩陣A是一個分塊對角矩陣AsdiagfAi,…,As}，其中Aj是A在Wj上的限制A|Wj在Wj的上述基下的矩陣。

第二步工作是在Wj中找一個合適的基，使得A|Wj在此基下的矩陣Aj具有最簡單的形式。由於V=VW?...?Ws，因此可以證明A的最小多項式m(A)是A|Wj的最小多項式mj(A)，j=1,2,…,s，的最小公倍式。利用這個結論和唯一因式分解定理可以得出，A|Wj的最小多項式從而A|Wj=XjI+Bj，其中Bj是Wj上的冪零變換，其冪零指數爲lj。於是只要在Wj中找到一個合適的基使得Bj在此基下的矩陣Bj具有最簡單的形式，則A|Wj在此基下的矩陣Aj,I+Bj也就最簡單了。這樣問題歸結爲去研究冪零變換的最簡單形式的矩陣表示。

設B是域F上的r維線性空間W上的一個冪零變換，其冪零指數爲1，用Wo表示B的屬於特徵值0的特徵子空間。對於任意aGW且a#0，一定存在正整數t使得Bta=0，而Bt-ia乒0。於是Bt-ici,Ba,a線性無關，從而它是子空間的一個基。我們把稱爲B-強循環子空間，其中Bt_1aeW0。B在上的限制在基Bt_1a,Ba,a下的矩陣是一個Jordan塊，其主對角元全爲0。我們探索W是否能分解成若干個B-強循環子空間的直和？若能夠這樣分解，則由每個B-強循環子空間的第一個基向量組成的向量組線性無關；又的一個基中每個向量都屬於某個B-強循環子空間，因此我們猜測W能分解成dmiWo個B-強循環子空間的直和。我們利用商空間對於研究線性空間的結構的兩個方面，用數學歸納法證明了這個猜測是真的。從而在每個B-強循環子空間中取上述這樣的基，它們合起來是W的一個基，B在此基下的矩陣爲由若干個Jordan塊組成的分塊對角矩陣，稱它爲B的Jordan標準形。進而得到：域F上的n維線性空間V上的線性變換A如果它的最小多項式m(；入）在F[A]中能分解成一次因式的乘積，那麼存在V的一個基，使得A在此基下的矩陣爲由若干個Jordan塊組成的分塊對角矩陣，稱它爲A的Jordan標準形。由於主對角元爲的t級Jordan塊的最小多項式爲(X-Xj)1,因此根據“分塊對角矩陣A=diag{Al5…,As}的最小多項式m(人）是Aj的最小多項式mj(A)，j=1,2,…，s，的最小公倍式”便得到，如果A有Jordan標準形J，那麼J的最小多項式m(人）是一次因式的乘積，m(A)也是A的最小多項式。從而如果A的最小多項式)在F[A]中的標準分解式有次數大於1的不可約因式，那麼A沒有Jordan標準形。我們用類比的方法證明了此時A有有理標準形。這樣我們就徹底解決了域F上n維線性空間V上的線性變換A的最簡單形式的矩陣表示的問題。

3.透過“解剖麻雀”，講清楚數學的深刻理論是怎麼想出來的

伽羅瓦在1829?1831年間徹底解決了一元n次方程是否可用根式求解的問題。他給出了方程可用根式求解的充分必要條件，創立了深刻的理論（後人稱之爲伽羅瓦理論），由此引發了代數學的革命性變化。古典代數學以研究方程的根爲中心。伽羅瓦理論創立以後，代數學轉變爲以研究各種代數系統的`結構及其態射（即保持運算的映射）爲中心，由此創立了近世代數學（也稱爲抽象代數學）。

我們在近世代數課的教學中，透過“解剖麻雀”，講清楚伽羅瓦理論是怎麼想出來的。考慮4次一般方程

x4+px2+q=0,(1)

其中p,q是兩個無關不定元。方程(1)的係數所屬的域爲Q[p,q]的分式域Q(p,q)，簡記作K，把K稱爲方程(1)的係數域。方程(1)有4個根：

.._|-P+VP2-4q.._|-p+Vp2-4qX1_a]2，X22，

.._|-p-VP2-4q.._|-p-VP2-4qX3_a]2，X42'

這表明方程(1)可用根式求解。我們來仔細分析方程(1)可用根式求解的過程。先要開平方Vp2-4q，把它記作d，則d2eK，但是d不屬於K.令K(d)={a+bdIa,beK},則K(d)是一個域，稱它爲K

添加d得到的域，記作&。接着要開平方

把它記作4，則42eK1；$K2=Ki(dO。還要

開平方把它記作4，則I2ek2，$k3=k2

(d2)。於是

xi=x2=-<!]_,x3=d2,x4=_d2.從而x1;x2,x3,x4GK3。因此在K3[x]中多項式x4

+px2+q可以分解成一次因式的乘積，從而&是x4+pX2+q的分裂域，並且有KgKicK2cK3o由此抽象出下述概念：

設f(x)是域F上次數大於0且首項係數爲1的多項式，並且f(x)的分裂域爲E，如果存在一

個域LgE，且有FgFr+1=L，

其中Fi+1=Fi(di),且dinieFii=l,…,r，那麼方程f(x)=0稱爲在域F上是根式可解的。

於是按照上述定義方程(1)是根式可解的。現在來探索爲什麼方程(1)是根式可解的。觀察方程(1)的4個根，發現它們之間有係數屬於K的下述關係：

X]+X。-0?X3+X4-0.(2)

把x^x^x^xdii成的集合記作Q={1,2,3,4}。在4元對稱羣54中，有且只有下述8個置換保持(2)式成立：

(1),(12),(34),(12)(34),(13)(24),

(14)(23),(1423),(1324),

它們組成的集合0是54的一個子羣，稱它爲方程

(1)關於域K的羣。

方程(1)的4個根其係數屬於1^的關係除了

(2)式外還有：

Xi2-x32=d,X12-x42=d,x22-x42=d,x22-x32=d,(3)

G中保持⑶式成立的所有置換組成的集合H1={⑴,(12),(34),(12)(34)}是G的一個子羣，稱它爲方程(1)關於域A的羣。

方程(1)的4個根其係數屬於&的關係除了(2)、（3)式外還有：

x廠x2=2dl5(4)

札中保持(4)式成立的所有置換組成的集合比={(1),(34)}是札的一個子羣，稱它爲方程(1)關於域&的羣。

方程(1)的4個根其係數屬於&的關係除了(2)、（3)、（4)式外還有：

x3-x4=2d2,(5)

H2中保持⑶式成立的所有置換組成的集合丨是4的一個子羣，稱它爲方程⑴關於域k3的羣。

由於指數爲2的子羣是正規子羣，因此1^是G的正規子羣，比是札的正規子羣，士是比的正規子羣。又有G/Hi,H1/H2,H2/H3都是交換羣，因此G是可解羣。由此猜測有下述結論：

方程根式可解的判別準則：在特徵爲0的域F上的方程f(x)=0根式可解的充分必要條件是

這個方程關於域F的羣是可解羣。

爲了論證這個猜測，我們繼續“解剖麻雀”。方程(1)關於域K的羣G中每個元素0保持方程(1)的根之間其係數屬於K的全部代數關係不變，從而0保持K的任一元素不變，即。在K上的限制是K上的恆等變換。由於&是多項式x4+px2+q的分裂域，即&是包含方程(1)的全部根X1;X2,X3,X4的最小的域，且d=Xi2-X32,d1=x1,d2=X3，以及oes4，因此0引起了k3到自身的一個雙射。還可以證明。引起的這個映射(仍記作0)保持K3的加法和乘法運算，因此0是K3的一個自同構。於是引出一個概念：

設域E包含域F，域E的一個自同構如果在F上的限制是F上的恆等變換，那麼把它稱爲域E的一個F-自同構。容易看出，域E的所有F-自同構組成的集合對於映射的乘法成爲一個羣，稱它爲E在F上的伽羅瓦羣，記作Gal(E/F)。

於是。eGal(K3/K)，從而GcGal(K3/K)。反之，任給TGGal(K3/K)，由於X^X2,X3,X4兩兩不等，因此t可以看成是D={1,2,3,4}上的一個置換，並且t保持方程(1)的根之間其係數屬於K的全部代數關係不變，從而TGG。因此G=Gal(K3/K)。同理，&=Gal(K3/K±)，H2=Gal(K3/K2)，H3=Gal(K3/K3)。這樣我們看到了一個有趣的事情：

KcKicK2cK3,

Gal(K3/K)^Gal(K3/K±)^Gal(K3/K2)^Gal(K3/K3).

設G是域E的一個自同構羣，E中被G的每個元素保持不動的元素組成的集合是E的一個子域，稱它爲G的不動域，記作Inv(G)。

設域E包含域F，則稱E是F上的域擴張，記作E/F;E的包含F的任一子域稱爲E/F的中間域。在上述例子中，Gal(K^K)的不動域恰好是K，Gal(K3/Ki)的不動域恰好是&，Gal(K3/K2)的不動域恰好是&，Gal(&/K3)的不動域恰好是K3，由此引出一個概念：

如果域擴張E/F的伽羅瓦羣Gal(E/F)的不動域恰好是F，那麼稱E/F爲一個伽羅瓦擴張。從上述有趣的事情我們猜測有下述結論：

設E/F爲一個有限伽羅瓦擴張，記G=Gal(E/F)，則在E/F的所有中間域組成的集合與G的所有子羣組成的集合之間存在一個一一對應：中間域K對應於Gal(E/K)，子羣H對應於它的不動域Inv(H)，Inv(Gal(E/K))=K;這個一一對應是反包含的，即

KicK2^Gal(E/Ki)^Gal(E/K2).

伽羅瓦發現並且證明了這個結論，現在稱它爲伽羅瓦基本定理（這裏沒有寫出伽羅瓦基本定理的其它3個結論）。伽羅瓦運用這個基本定理證明了方程根式可解的判別準則。

4.抓住主線，全局在胸，科學地安排講授體系

高等代數課程的主線是研究線性空間及其態射（即線性映射）。爲了自然而然地引出線性空間的概念，《高等代數》（丘維聲著，科學出版社）的第一章講線性方程組的解法和解的情況的判定;第二章講行列式，給出了n個方程的n元線性方程組有唯一解的充分必要條件；第三章爲了對數域K上的n元線性方程組直接從係數和常數項判斷它有沒有解和有多少解，在所有n元有序數組組成的集合Kn中引進加法和數量乘法運算，它們滿足8條運算法則，我們抓住幾何空間，Kn的共同的主要特徵自然而然地引出了線性空間的概念，然後去研究線性空間的結構。講完線性空間之後，一種講法是立即講線性映射。但是研究線性映射一方面是從映射的角度講線性映射的運算，線性映射組成的集合的結構，以及線性映射的核與像；另一方面是研究線性映射的矩陣表示，特別是研究線性變換的最簡單形式的矩陣表示。因此我們在第四章講矩陣的運算，既爲研究線性映射打下基礎，又爲資訊時代迅速崛起的離散數學中應用越來越廣泛的矩陣加強了矩陣的分塊、矩陣的打洞的訓練。爲了研究線性變換的最簡單形式的矩陣表示，需要用到一元多項式環的通用性質，因此我們在第五章講一元多項式環的結構及其通用性質，並且水到渠成地引出了環和域的概念。第六章講線性映射（包括線性變換和線性函數）。爲了在線性空間中引進度量概念，第七章講雙線性函數，並且用到研究二次型上。第八章講具有度量的線性空間，以及與度量有關的變換。第九章講n元多項式環。

解析幾何課程的主線是研究幾何空間的線性結構和度量結構，在此基礎上並且用變換的觀點研究圖形的性質和分類。

近世代數課程的主線是研究代數系統（羣，環，域，模）的結構及其態射（即保持運算的映射）。羣論的主線是羣同態；環論的主線是環的理想；域論的主線是域擴張，其目標是伽羅瓦理論。

5.精心設計板書，清晰現思維過程

例如，我在講了線性空間V的子空間的交與和的概念後，一邊講述，一邊板書如下：

[板書第1行，預留11個字的空位]設％,V2是數域K上線性空間V的有限維子空間，則[講述]有％與?2的和與交；[板書第2行，在每個子空間前面預留3個字母的空位]Vi+v2Viv2Vinv2[講述]%+v2是不是有限維的？如果是，它的維數與mn4的維數有什麼關係？

[在板書第2行的每個子空間前面上填寫3個字母]

(11111(3^+V2)dimV±dimV2dim(ViHV2)

[講述]讓我們解剖一個“麻雀”：幾何空間中，設與7T2是過定點0的兩個相交平面，在板書第1，2行的右側畫圖，本文就不畫了]

[一邊講述，一邊在圖上繼續畫]幾何空間中，任意一個向量a可以表示成a=a±+a2，其中a2eji：2。於是％+?等於幾何空間。又%n712是過定點0的一條直線，因此

[在圖下方板書]dim(ji：i+jt2)=3=2+2-1=dimjt!+dimjt2-fljt2)-

[講述]由此我們猜測對於線性空間V的有限維子空間V2有下述結論：

[在板書第2行上填寫]dim(+V2)=dim+dimV2-dim(ViHV2)

[講述]下面我們來證明這個猜測是真的。

[板書證明過程，本文就不寫出了]

[講述]這樣我們得到了子空間的交與和的維數公式：

[在板書第1行預留的11個字的空位上填寫]定理1(子空間的維數公式）設％,%是數域K上線性空間V的有限維子空間，則這樣講課和板書是提出了問題，引導學生去探索，從幾何空間的例子，猜測出子空間的維數公式，然後纔去證明。這有利於培養學生的創新能力。

以上是我們在幾十年的教學中用數學的思維方式教數學的一些做法，與老師們交流。