矩形菱形與正方形練習題

1. （ 安徽省,第10題4分）如圖，正方形ABCD的對角線BD長爲2 ，若直線l滿足：

①點D到直線l的距離爲 ；

②A、C兩點到直線l的距離相等．

則符合題意的直線l的條數爲（  ）

A． 1 B． 2 C． 3 D． 4

考點： 正方形的性質．

分析： 連接AC與BD相交於O，根據正方形的性質求出OD= ，然後根據點到直線的距離和平行線間的距離相等解答．

解答： 解：如圖，連接AC與BD相交於O，

∵正方形ABCD的對角線BD長爲2 ，

∴OD= ，

∴直線l‖AC並且到D的距離爲 ，

同理，在點D的另一側還有一條直線滿足條件，

故共有2條直線l．

故選B．

點評： 本題考查了正方形的性質，主要利用了正方形的對角線互相垂直平分，點D到O的距離小於 是本題的關鍵．

2. （ 福建泉州，第5題3分）正方形的對稱軸的`條數爲（  ）

A． 1 B． 2 C． 3 D． 4

考點： 軸對稱的性質

分析： 根據正方形的對稱性解答．

解答： 解：正方形有4條對稱軸．

故選D．

點評： 本題考查了軸對稱的性質，熟記正方形的對稱性是解題的關鍵．

3. （珠海，第2題3分）邊長爲3cm的菱形的周長是（  ）

A． 6cm B． 9cm C． 12cm D． 15cm

考點： 菱形的性質．

分析： 利用菱形的各邊長相等，進而求出周長即可．

解答： 解：∵菱形的各邊長相等，

∴邊長爲3cm的菱形的周長是：3×4=12（cm）．

故選：C．

點評： 此題主要考查了菱形的性質，利用菱形各邊長相等得出是解題關鍵．

4.（廣西玉林市、防城港市，第6題3分）下列命題是假命題的是（  ）

A． 四個角相等的四邊形是矩形 B． 對角線相等的平行四邊形是矩形

C． 對角線垂直的四邊形是菱形 D． 對角線垂直的平行四邊形是菱形

考點： 命題與定理．

分析： 根據矩形的判定對A、B進行判斷；根據菱形的判定方法對C、D進行判斷．

解答： 解：A、四個角相等的四邊形是矩形，所以A選項爲真命題；

B、對角線相等的平行四邊形是矩形，所以B選項爲真命題；

C、對角線垂直的平行四邊形是菱形，所以C選項爲假命題；

D、對角線垂直的平行四邊形是菱形，所以D選項爲真命題．

故選C．

點評： 本題考查了命題與定理：判斷事物的語句叫命題；正確的命題稱爲真命題，錯誤的命題稱爲假命題；經過推理論證的真命題稱爲定理．

5.（畢節地區，第8題3分）如圖，菱形ABCD中，對角線AC、BC相交於點O，H爲AD邊中點，菱形ABCD的周長爲28，則OH的長等於（  ）

A． 3.5 B． 4 C． 7 D． 14

考點： 菱形的性質；直角三角形斜邊上的中線；三角形中位線定理

分析： 根據菱形的四條邊都相等求出AB，菱形的對角線互相平分可得OB=OD，然後判斷出OH是△ABD的中位線，再根據三角形的中位線平行於第三邊並且等於第三邊的一半可得OH= AB．

解答： 解：∵菱形ABCD的周長爲28，

∴AB=28÷4=7，OB=OD，

∵H爲AD邊中點，

∴OH是△ABD的中位線，

∴OH= AB= ×7=3.5．

故選A．

點評： 本題考查了菱形的對角線互相平分的性質，三角形的中位線平行於第三邊並且等於第三邊的一半，熟記性質與定理是解題的關鍵．

6.（襄陽，第12題3分）如圖，在矩形ABCD中，點E，F分別在邊AB，BC上，且AE= AB，將矩形沿直線EF摺疊，點B恰好落在AD邊上的點P處，連接BP交EF於點Q，對於下列結論：①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF是等邊三角形．其中正確的是（  ）

A． ①② B． ②③ C． ①③ D． ①④

考點： 翻折變換（摺疊問題）；矩形的性質

分析： 求出BE=2AE，根據翻折的性質可得PE=BE，再根據直角三角形30°角所對的直角邊等於斜邊的一半求出∠APE=30°，然後求出∠AEP=60°，再根據翻折的性質求出∠BEF=60°，根據直角三角形兩銳角互餘求出∠EFB=30°，然後根據直角三角形30°角所對的直角邊等於斜邊的一半可得EF=2BE，判斷出①正確；利用30°角的正切值求出PF= PE，判斷出②錯誤；求出BE=2EQ，EF=2BE，然後求出FQ=3EQ，判斷出③錯誤；求出∠PBF=∠PFB=60°，然後得到△PBF是等邊三角形，判斷出④正確．

解答： 解：∵AE= AB，

∴BE=2AE，

由翻折的性質得，PE=BE，

∴∠APE=30°，

∴∠AEP=90°－30°=60°，

∴∠BEF= （180°－∠AEP）= （180°－60°）=60°，

∴∠EFB=90°－60°=30°，

∴EF=2BE，故①正確；

∵BE=PE，

∴EF=2PE，

∵EF＞PF，

∴PF＞2PE，故②錯誤；

由翻折可知EF⊥PB，

∴∠EBQ=∠EFB=30°，

∴BE=2EQ，EF=2BE，

∴FQ=3EQ，故③錯誤；

由翻折的性質，∠EFB=∠BFP=30°，

∴∠BFP=30°+30°=60°，

∵∠PBF=90°－∠EBQ=90°－30°=60°，

∴∠PBF=∠PFB=60°，

∴△PBF是等邊三角形，故④正確；

綜上所述，結論正確的是①④．

故選D．

點評： 本題考查了翻折變換的性質，直角三角形30°角所對的直角邊等於斜邊的一半的性質，直角三角形兩銳角互餘的性質，等邊三角形的判定，熟記各性質並準確識圖是解題的關鍵．

7.（孝感，第9題3分）如圖，正方形OABC的兩邊OA、OC分別在x軸、y軸上，點D（5，3）在邊AB上，以C爲中心，把△CDB旋轉90°，則旋轉後點D的對應點D′的座標是（  ）

A． （2，10） B． （－2，0） C． （2，10）或（－2，0） D． （10，2）或（－2，0）

考點： 座標與圖形變化-旋轉．

分析： 分順時針旋轉和逆時針旋轉兩種情況討論解答即可．

解答： 解：∵點D（5，3）在邊AB上，

∴BC=5，BD=5－3=2，

①若順時針旋轉，則點D′在x軸上，OD′=2，

所以，D′（－2，0），

②若逆時針旋轉，則點D′到x軸的距離爲10，到y軸的距離爲2，

所以，D′（2，10），

綜上所述，點D′的座標爲（2，10）或（－2，0）．

故選C．

點評： 本題考查了座標與圖形變化－旋轉，正方形的性質，難點在於分情況討論．