二次函數的性質和圖像教學設計

一、教學內容分析

本節課是《普通高中課程標準實驗教科書·數學（1）》（人教B版）第二章第二節第二課（2.2.2）《二次函數的性質與圖象》。關於《二次函數的性質與圖象》在初中已經學習過，根據我所任教的學生的實際情況，我將《二次函數的性質與圖象》設定爲一節課（探究圖象及其性質）。二次函數是重要的基本初等函數之一，作爲常見函數，它不僅是今後學習其他初等函數的基礎，同時在生活及生產實際中有着廣泛的應用，所以二次函數應重點研究。

二、學生學習況情分析

二次函數是在學生系統學習了函數概念，基本掌握了函數的性質的基礎上進行研究的，是學生對函數概念及性質的又一次應用。基於在初中教材的學習中已經給出了二次函數的圖象及性質，已經讓學生掌握了二次函數的圖象及一些性質，只是像單調性、對稱性、零點這種性質還沒有規範，課本給出的三個例題對於學生來說非常熟悉。本節課需要認真設計問題來激發學生學習新知的興趣和慾望。

三、設計思想

1.函數及其圖象在高中數學中佔有很重要的位置。如何突破這個既重要又抽象的內容，其實質就是將抽象的符號語言與直觀的圖象語言有機的結合起來，透過具有一定思考價值的問題，激發學生的求知慾望――持久的好奇心。我們知道，函數的表示法有三種：列表法、圖象法、解析法，以往的函數的學習大多隻關注到圖象的作用，這其實只是藉助了圖象的直觀性，只是從一個角度看函數，是片面的。本節課，力圖讓學生從不同的角度去研究函數，對函數進行一個全方位的研究，並透過對比總結得到研究的方法，讓學生去體會這種研究方法,以便能將其遷移到其他函數的研究中去。

2.結合新課程實施的教學理念，在本課的教學中我努力實踐以下兩點：

（1）在課堂活動中透過同伴合作、自主探究嘗試培養學生積極主動、勇於探索的學習方式。

（2）在教學過程中努力做到師生的互動，並且在對話之後重視體會、總結、反思，力圖在培養和發展學生數學素養的同時讓學生掌握一些學習、研究數學的方法。

（3）透過課堂教學活動向學生滲透數學思想方法。

四、教學目標

根據任教班級學生的實際情況，本節課我確定的教學目標是：

1、知識與技能：掌握二次函數的圖象與性質，能夠藉助於具體的二次函數應用所學知識解決簡單的函數問題，理解和掌握從不同的角度研究函數的性質與圖象的方法。

2、過程與方法：透過老師的引導、點撥，讓學生在分組合作、積極探索的氛圍中，透過回顧歸納，類比分析的方法掌握從函數圖象出發研究函數性質和從函數解析式性質去研究函數圖象這兩種從不同角度研究函數的數學方法，加深對函數概念的理解和研究函數的方法的認識。

3、情感、態度、價值觀：讓學生在數學活動中感受數學思想方法之美、體會數學思想方法之重要；同時透過本節課的學習，使學生獲得研究函數的規律和方法；培養學生主動學習、合作交流的意識。

五、教學重點與難點

教學重點：使學生掌握二次函數的概念、圖象和性質；熟悉從不同的角度研究函數的性質與圖象的方法。

教學難點：藉助於二次函數的解析式透過配方對函數性質的研究來分析推斷二次函數的圖象。

六、教學過程：

（一）創設情景、提出問題

本節課一開始我就讓學生直接總結出二次函數的性質與圖象，並指出如何得到函數的相關性質。學生在初中學習的基礎上很容易就完成。就在學生回答後，教師提出一個讓大家意想不到的問題：既然大家已經學習也掌握了二次函數的圖象和性質，那我們今天還有必要再重複嗎？編者的失誤？還是另有用意呢？

【設計意圖：一方面可以激發學生學習熱情和探索新知的慾望；另一方面也給學生傳遞一個學習目標方面的資訊。在學生感覺很疑惑的時候，教師再次設問，把問題引向深入。】

【學情預設：學生可能很疑惑，或者有一些猜測】

你能獨立完成問題2嗎？。

問題2:試作出二次函數的圖象。

要求學生按照自己處理二次函數的方法獨立完成。

【設計意圖：充分暴露學生的問題，突出本節課的重要性，激發學生學習的動力。】

【學情預設：一部分學生使用描點法作圖；另一部分學生只確定對稱軸和開口、只利用對稱軸和y軸的交點等不是很規範的方法作圖。】

在總結交流的基礎上教師指出：有的同學用描點作圖的方法作出函數的圖象，從方法上沒有問題，但是需要描出大量的點才能得到較爲準確的圖象；有的同學只是找到函數的對稱軸判定開口方向就畫出一個圖象，或者是找到函數的對稱軸和y軸的交點確定開口方向就畫出函數的圖象等等，這種不是很規範的作圖方法，感覺很快，但是往往得到的圖象不是很準確的，爲什麼呢？

（學生稍作思考）

師：實質上函數的性質是函數自身特殊對應關係的體現，而體現函數的對應關係的方法有解析式法、圖象法和列表法。既然能夠用解析式結合圖象得到函數的性質，那麼能否藉助於解析式直接分析其性質，然後推斷出圖象的特徵呢?在推斷函數的圖象時要考慮函數的哪些主要性質呢？我想這也是今天這節課的意圖所在，如何利用函數性質的研究來推斷出較爲準確的函數圖象，大家是否有興趣和能力來探討這個問題呢？

帶着這樣的問題我帶領學生進入下一個環節——師生互動、探究新知。

（二）師生互動、探究新知

在這個環節上，我引用課本所給的例題1請同學們以學習小組爲單位嘗試完成。

例1、試述二次函數的性質，並作出它的圖象。

要求：按照解析式----性質----推斷函數圖象的`過程來探討，

【設計意圖是：以便於學生在對比中進一步理解函數性質的應用，突破應用函數的性質來推斷函數圖象這一難點。同時體驗分析障礙和獲得成功的快樂，激發學生的學習興趣。】

在學生學習小組的一番探討後，教師選小組代表做總結髮言，要求說出利用解析式得到性質的分析過程。

（其他小組作出補充，教師引導從以下幾個方面完善）：

（1）定義域（2）開口方向（3）值域（頂點）及最值（4）對稱軸（5）單調性（6）奇偶性（7）零點（8）圖象

【設計意圖是：讓學生在師生互動，共同探討的過程中逐步實現知識的遷移，基本上形成新的認知。】

【學情預設：因爲是第一次嘗試利用解析式分析性質並推斷圖象，學生對於某些性質不能準確的闡述出分析過程，對對稱軸的確定、單調區間及單調性的分析等可能存在困難。】

這時教師可以利用對解析式的分析結合多媒體引導學生得到分析的思路和解決的方法，進而突破教學難點。

根據實際情況教師可以引導學生從二次函數的配方結果來分析：

（1）單調性的分析： 在=中當時，取得最小值-2，當時，自變量就越大，越小，就越大，就越大，即就越大，即就越大； 就越大；當時，自變量越大，這樣單調性及單調區間（分界點）自然可以解決，結合單調性的定義可給出嚴格的證明；同時也可以幫助我們說明開口的方向是向上的。

（2）對稱性的分析：

在=中當和時，如果=時，即，也就是，則時，一定有

也就是成立。因此可以令成立，這就是說二次函數的兩個數於直線和對稱。 的自變量時，函數值在軸上取兩個關於-4對應的點爲對稱中心的兩個點對應總是成立的，這就說明函數的圖象關在對解析式分析的同時藉助於幾何畫板課件演示，讓學生直觀感受：

然後在教師的引導之下推廣並得出一般結論：如果函數成立，則函數的圖象關於直線對定義域內的任意

對稱。 都有在得出對稱性的一般結論這一副產品後，爲了強化對這個結論的認識和理解，教師可以安插一個練習題：

練習：試用以上結論來概括函數___________________________. 應該滿足的結論是

在完成以上各環節後，教師再次提出任務：既然我們把二次函數的相關性質都分析完成，那麼根據以上性質請同學們再次分析如何利用二次函數的性質推斷出二次函數的圖象? 用二次函數的性質推斷函數的圖象時需要研究分析二次函數的哪些主要性質才能比較準確地畫出圖象？