九年級下冊數學二次函數的圖象和性質教學計劃

教學目標

【知識與技能】

使學生理解並掌握函數y=a（x—h）2+k的圖象與函數y=ax2的圖象之間的關係;會確定函數y=a（x—h）2+k的圖象的開口方向、對稱軸和頂點座標。

【過程與方法】

讓學生經歷函數y=a（x—h）2+k性質的探索過程，理解並掌握函數y=a（x—h）2+k的性質，培養學生觀察、分析、猜測、歸納並解決問題的能力。

【情感、態度與價值觀】

滲透數形結合的數學思想，培養學生良好的學習習慣。

重點難點

【重點】

確定函數y=a（x—h）2+k的圖象的開口方向、對稱軸和頂點座標，理解函數y=a（x—h）2+k的圖象與函數y=ax2的圖象之間的關係，理解函數y=a（x—h）2+k的性質。

【難點】

正確理解函數y=a（x—h）2+k的圖象與函數y=ax2的圖象之間的關係以及函數y=a（x—h）2+k的性質。

教學過程

一、問題引入

1。函數y=x2+1的圖象與函數y=x2的圖象有什麼關係？

（函數y=x2+1的圖象可以看成是將函數y=x2的圖象向上平移一個單位得到的。）

2。函數y=—（x+1）2的圖象與函數y=—x2的圖象有什麼關係？

（函數y=—（x+1）2的圖象可以看成是將函數y=—x2的圖象向左平移一個單位得到的。）

3。函數y=—（x+1）2—1的圖象與函數y=—x2的圖象有什麼關係？函數y=—（x+1）2—1有哪些性質？

（函數y=—（x+1）2—1的圖象可以看作是將函數y=—x2的圖象向左平移一個單位，再向下平移一個單位得到的，開口向下，對稱軸爲直線x=—1，頂點座標是（—1，—1）。）

二、新課教授

問題1：你能畫出函數y=—x2，y=—（x+1）2，y=—（x+1）2—1的圖象嗎？

師生活動：

教師引導學生作圖，巡視，指導。

學生在直角座標系中畫出圖形。

教師對學生的作圖情況作出評價，指正其錯誤，出示正確圖形。

解：（1）列表：

xy=—x2y=—（x+1）2y=—（x+1）2—1

…………

—3——2—3

—2—2——

—1—0—1

00——

1——2—3

2—2——

3——8—9

…………

（2）描點：用表格中各組對應值作爲點的座標，在平面直角座標系中描點;

（3）連線：用光滑曲線順次連接各點，得到函數y=—x2，y=—（x+1）2，y=—（x+1）2—1的圖象。

問題2：觀察圖象，回答下列問題。

函數開口方向對稱軸頂點座標

y=—x2向下x=0（0，0）

y=—（x+1）2向下x=—1（—1，0）

y=—（x+1）2—1向下x=—1（—1，—1）

問題3：從上表中，你能分別找到函數y=—（x+1）2—1，y=—（x+1）2與函數y=—x2的圖象之間的關係嗎？

師生活動：

教師引導學生認真觀察上述圖象。

學生分組討論，互相交流，讓各組代表發言，達成共識。教師對學生回答錯誤的地方進行糾正，補充。

函數y=—（x+1）2—1的圖象可以看成是將函數y=—（x+1）2的圖象向下平移1個單位得到的。

函數y=—（x+1）2的圖象可以看成是將函數y=—x2的圖象向左平移1個單位得到的。

故拋物線y=—（x+1）2—1是由拋物線y=—x2沿x軸向左平移1個單位長度得到拋物線y=—（x+1）2，再將拋物線y=—（x+1）2向下平移1個單位得到的。

除了上述平移方法外，你還有其他的平移方法嗎？

師生活動：

教師引導學生積極思考，並適當提示。

學生分組討論，互相交流，讓各組代表發言，達成共識。

教師對學生回答錯誤的地方進行糾正，補充。

拋物線y=—（x+1）2—1是由拋物線y=—x2向下平移1個單位長度得到拋物線y=—x2—1，再將拋物線y=—x2—1向左平移1個單位得到的。

問題4：你能發現函數y=—（x+1）2—1有哪些性質嗎？

師生活動：

教師組織學生討論，互相交流。

學生分組討論，互相交流，讓各組代表發言，達成共識。

教師對學生回答錯誤的地方進行糾正，補充。

當x—1時，函數值y隨x的增大而增大;當x—1時，函數值y隨x的增大而減小;當x=—1時，函數取得最大值，最大值y=—1。

三、典型例題

【例】 要修建一個圓形噴水池，在水池中心豎直安裝一根水管，在水管的頂端安裝一個噴水頭，使噴出的拋物線形水柱在與池中心的水平距離爲1 m處達到最高，高度爲3 m，水柱落地處離池中心3 m，水管應多長？

師生活動：

教師組織學生討論、交流，如何將文字語言轉化爲數學語言。

學生積極思考、解答。

指名板演，教師講評。

解：如圖（2）建立的直角座標系中，點（1，3）是圖中這段拋物線的頂點，因此可設這段拋物線對應的函數關係式是y=a（x—1）2+3（0≤x≤3）。

由這段拋物線經過點（3，0）可得0=a（3—1）2+3，

解得a=—，

因此y=—（x—1）2+3（0≤x≤3），

當x=0時，y=2。25，也就是說，水管的長應爲2。25 m。

四、鞏固練習

1。畫出函數y=2（x—1）2—2的圖象，並將它與函數y=2（x—1）2的圖象作比較。

【答案】函數y=2（x—1）2的圖象可以看成是將函數y=2x2的圖象向右平移一個單位得到的，再將y=2（x—1）2的'圖象向下平移兩個單位長度即得函數y=2（x—1）2—2的圖象。

2。說出函數y=—（x—1）2+2的圖象與函數y=—x2的圖象的關係，由此進一步說出這個函數圖象的開口方向、對稱軸和頂點座標。

【答案】函數y=—（x—1）2+2的圖象可以看成是將函數y=—x2的圖象向右平移一個單位，再向上平移兩個單位得到的，其開口向下，對稱軸爲直線x=1，頂點座標是（1，2）。

五、課堂小結

本節知識點如下：

一般地，拋物線y=a（x—h）2+k與y=ax2的形狀相同，位置不同，把拋物線y=ax2向上（或下）向左（或右）平移，可以得到拋物線y=a（x—h）2+k。平移的方向和距離要根據h、k的值來確定。

拋物線y=a（x—h）2+k有如下特點：

（1）當a0時，開口向上;當a0時，開口向下;

（2）對稱軸是x=h;

（3）頂點座標是（h，k）。

教學反思

本節內容主要研究二次函數y=a（x—h）2+k的圖象及其性質。在前兩節課的基礎上我們清楚地認識到y=a（x—h）2+k與y=ax2有密切的聯繫，我們只需對y=ax2的圖象做適當的平移就可以得到y=a（x—h）2+k的圖象。由y=ax2得到y=a（x—h）2+k有兩種平移方法：

方法一：

y=ax2

y=a（x—h）2

y=a（x—h）2+k

方法二：

y=ax2

y=ax2+k

y=a（x—h）2+k

在課堂上演示平移的過程，讓學生切身體會到兩種平移方法的區別和聯繫，這裏利用幾何畫板軟件效果會更好。