數學圓的公切線教案

數學圓的公切線教案

第一課時 兩圓的公切線（一）

教學目標：

（1）理解兩圓相切長等有關概念，掌握兩圓外公切線長的求法；

（2）培養學生的歸納、/Article/>總結能力；

（3）透過兩圓外公切線長的求法向學生滲透“轉化”思想．

教學重點：

理解兩圓相切長等有關概念，兩圓外公切線的求法．

教學難點：

兩圓外公切線和兩圓外公切線長學生理解的不透，容易混淆．

教學活動設計

（一）實際問題（引入）

很多機器上的傳動帶與主動輪、從動輪之間的位置關係，給我們以一條直線和兩個同時相切的形象．（這裏是一種簡單的數學建模，瞭解數學產生與實踐）

（二）兩圓的公切線概念

1、概念：

教師引導學生自學．給出兩圓的外公切線、內公切線以及公切線長的定義：

和兩圓都相切的直線，叫做兩圓的公切線．

(1)外公切線：兩個圓在公切線的同旁時，這樣的公切線叫做外公切線．

(2)內公切線：兩個圓在公切線的兩旁時，這樣的公切線叫做內公切線．

(3)公切線的長：公切線上兩個切點的距離叫做公切線的長．

2、理解概念：

(1)公切線的長與切線的長有何區別與聯繫?

(2)公切線的長與公切線又有何區別與聯繫?

(1)公切線的長與切線的長的概念有類似的地方，即都是線段的長．但公切線的長是對兩個圓來說的，且這條線段是以兩切點爲端點；切線長是對一個圓來說的，且這條線段的一個端點是切點，另一個端點是圓外一點．

(2)公切線是直線，而公切線的長是兩切點問線段的長，前者不能度量，後者可以度量．

（三）兩圓的位置與公切線條數的關係

組織學生觀察、概念、概括，培養學生的學習能力．添寫教材P143練習第2題表．

（四）應用、反思、/Article/>總結

例1、已知：⊙O1、⊙O2的半徑分別爲2cm和7cm，圓心距O1O2=13cm，AB是⊙O1、⊙O2的外公切線，切點分別是A、B．求：公切線的長AB．

分析：首先想到切線性質，故連結O1A、O2B，得直角梯形AO1O2B．一般要把它分解成一個直角三角形和一個矩形，再用其性質．（組織學生分析，教師點撥，規範步驟）

解：連結O1A、O2B，作O1A⊥AB，O2B⊥AB．

過 O1作O1C⊥O2B，垂足爲C，則四邊形O1ABC爲矩形，

於是有

O1C⊥C O2，O1C= AB，O1A=CB．

在Rt△O2CO1和．

O1O2=13，O2C= O2B- O1A=5

AB= O1C=(cm)．

反思：（1）“轉化”思想，構造三角形；（2）初步掌握添加輔助線的方法．

例2*、如圖，已知⊙O1、⊙O2外切於P，直線AB爲兩圓的公切線，A、B爲切點，若PA=8cm，PB=6cm，求切線AB的長．

分析：因爲線段AB是△APB的一條邊，在△APB中，已知PA和PB的長，只需先證明△PAB是直角三角形，然後再根據勾股定理，使問題得解．證△PAB是直角三角形，只需證△APB中有一個角是90°(或證得有兩角的和是90°)，這就需要溝通角的關係，故過P作兩圓的公切線CD如圖，因爲AB是兩圓的公切線，所以∠CPB=∠ABP，∠CPA=∠BAP．因爲∠BAP+∠CPA+∠CPB+∠ABP=180°，所以2∠CPA+2∠CPB=180°，所以∠CPA+∠CPB=90°，即∠APB=90°，故△APB是直角三角形，此題得解．

解：過點P作兩圓的公切線CD

∵ AB是⊙O1和⊙O2的切線，A、B爲切點

∴∠CPA=∠BAP ∠CPB=∠ABP

又∵∠BAP+∠CPA+∠CPB+∠ABP=180°

∴ 2∠CPA+2∠CPB=180°

∴∠CPA+∠CPB=90° 即∠APB=90°

在 Rt△APB中，AB2=AP2+BP2

說明：兩圓相切時，常過切點作兩圓的公切線，溝通兩圓中的角的關係．

（五）鞏固練習

1、當兩圓外離時，外公切線、圓心距、兩半徑之差一定組成( )

(A)直角三角形 (B)等腰三角形 (C)等邊三角形 (D)以上答案都不對．

此題考察外公切線與外公切線長之間的差別，答案(D)

2、外公切線是指

(A)和兩圓都祖切的直線 (B)兩切點間的距離

(C)兩圓在公切線兩旁時的公切線 (D)兩圓在公切線同旁時的公切線

直接運用外公切線的定義判斷．答案：(D)

3、教材P141練習（略）

（六）小結（組織學生進行）

知識：兩圓的公切線、外公切線、內公切線及公切線的長概念；

能力：歸納、概括能力和求外公切線長的能力；

思想：“轉化”思想．

（七）作業：P151習題10，11．

第二課時 兩圓的公切線（二）

教學目標：

（1）掌握兩圓內公切線長的求法以及公切線與連心線的夾角或公切線的交角；

（2）培養的遷移能力，進一步培養學生的歸納、/Article/>總結能力；

（3）透過兩圓內公切線長的求法進一步向學生滲透“轉化”思想．

教學重點：

兩圓內公切線的長及公切線與連心線的夾角或公切線的交角求法．

教學難點：

兩圓內公切線和兩圓內公切線長學生理解的不透，容易混淆．

教學活動設計

（一）複習基礎知識

（1）兩圓的公切線概念：公切線、內外公切線、內外公切線的長．

（2）兩圓的位置與公切線條數的關係．（構成數形對應，且一一對應）

（二）應用、反思

例1、（教材例2）已知：⊙O1和⊙O2的半徑分別爲4釐米和2釐米，圓心距 爲10釐米，AB是⊙O1和⊙O2的一條內公切線，切點分別是A，B．

求：公切線的長AB。

組織學生分析，遷移外公切線長的求法，既培養學生解決問題的能力，同時也培養學生學習的遷移能力．

解：連結O1A、O2B，作O1A⊥AB，O2B⊥AB．

過 O1作O1C⊥O2B，交O2B的延長線於C，

則O1C= AB，O1A=BC．

在Rt△O2CO1和．

O1O2=10，O2C= O2B+ O1A=6

∴O1C= (cm)．

∴AB=8（cm）

反思：與外離兩圓的內公切線有關的計算問題，常構造如此題的直角梯行及直角三角形，在Rt△O2CO1中，含有內公切線長、圓心距、兩半徑和重要數量．注意用解直角三角形的知識和幾何知識綜合去解構造後的直角三角形．

例2 （教材例3）要做一個圖那樣的礦型架，將兩個鋼管托起，已知鋼管的外徑分別爲200毫米和80毫米，求V形角α的度數．

解：(略)

反思：實際問題經過抽象、化簡轉化成數學問題，應用數學知識來解決，這是解決實際問題的重要方法．它屬於簡單的數學建模．

組織學生進行，教師引導．

歸納：（1）用解直角三角形的有關知識可得：當公切線長l、兩圓的兩半徑和R+r、圓心距d、兩圓公切線的夾角α四個量中已知兩個量時，就可以求出其他兩個量．

， ；

（2）上述問題可以透過相似三角形和解三角形的知識解決．

（三）鞏固訓練

教材P142練習第1題，教材P145練習第1題．

學生獨立完成，教師巡視，發現問題及時糾正．

（四）小結

（1）求兩圓的內公切線，“轉化”爲解直角三角形問題．公切線長、圓心距、兩半徑和三個量中已知任何兩個量，都可以求第三個量；

（2）如果兩圓有兩條外(或內)公切線，並且它們相交，那麼交點一定在兩圓的連心線上；

（3）求兩圓兩外(或內)公切線的夾角．

（五）作業

教材P153中12、13、14．