垂直於弦的直徑說課稿

各位老師大家好，今天我說課的內容是義務教材人教版初中九年級上第24章中“垂直於弦的直徑”一節。

下面我從教材分析、教學策略、學法指導、教學程序、板書設計五個方面對本課的設計進行說明。

一、 教材分析 （說教材）

1、教材所處的地位和作用

本節內容是圓性質的重要體現，是圓軸對稱性的具體化。也是今後證明線段相等、角相等、弧相等、垂直關係的重要依據。同時也爲進行圓的計算和作圖提供了方法和依據。所以它在教材中處於很重要的地位。對圓的後續學習起到了奠基作用。另外，本節課透過“實驗—觀察—猜想—合作交流—證明”的途徑可以培養學生的動手能力、觀察能力、分析、歸納以及與人合作交流的能力。同時利用圓的軸對稱性激發學生學習數學的興趣，可以對學生進行數學美的教育。因此，這節課無論從知識上還是從學生能力的培養及情感教育方面都起着十分重要的作用。

2、教學目標

（1）知識與技能：理解圓的軸對稱性；掌握垂徑定理；學會運用垂徑定理解決有關的證明、計算和作圖問題。培養學生的觀察能力、分析能力及聯想能力。

（2）過程與方法：教師創設問題情景，激發學生的求知慾望；學生在教師的引導下進行自主探索、合作交流，收穫新知；透過分組訓練，深化新知，共同感受收穫的喜悅。

（3）情感態度與價值觀：能積極參與數學學習活動，對數學有好奇心與求知慾；體驗數學活動充滿着探索與創造，認識透過觀察、實驗、歸納、推斷可以獲得數學猜想。

3、重點、難點以及確定的依據

透過教材分析，我們看到“垂徑定理”在教材中起着重要作用，是今後解決有關計算、證明和有關作圖問題的重要依據，因此本節課的教學重點是“垂徑定理及其應用”。

由於垂徑定理的題設與結論比較複雜，很容易混淆遺漏，所以對垂徑定理的題設與結論的區分是本節難點之一。同時，對定理的證明方法“疊合法”學生不常用到，是本節又一難點。因此本節課的教學難點是 “對垂徑定理題設與結論的區分及定理的證明方法”。

二、教學策略（說教法）

如何選擇合理的教學方法，恰當的處理教材，突出重點、突破難點，從而實現教學目標，我在教學過程中擬計劃如下操作。

1、教學過程中選用“引導發現法”和“直觀演示法”。

讓學生在課堂上多活動、多觀察、多合作、多交流，主動參與到整個教學活動中來，組織學生參與“實驗—觀察—猜想—證明”的活動，最後得出定理。

2、教學過程中充分利用教具和投影儀，提高教學效果。

在實驗演示、操作、觀察、練習等師生的共同活動中啓發學生，讓每個學生動手、動口、動眼、動腦，培養學生的直覺思維能力。

3、教學活動中我還注重用不同顏色的對比來啓發學生，增強視覺衝擊力，提高學生學習的興趣。

關於教材處理：

1、對於圓的軸對稱性及垂徑定理的發現、證明，採用師生共同演示的方法。

2、例1講完後，總結出輔助線作法的七字口訣“半徑半弦弦心距”得直角三角形中三邊的關係式r2=d2+( )2,注意前後知識的連結，將例2作爲例1的延伸，設法將實際問題轉化爲數學問題，結合代數方法求解。

3、課本p88頁練習要求學生課堂完成。P95頁部分題課後完成。

三、學法指導

透過本節課的教學，我應引導學生學會觀察、歸納的學習方法。培養學生的想象力，充分調動學生自己動手、動腦，引導他們自己分析、討論、得出結論，鼓勵他們合作交流。

四、教學程序

課堂結構：複習提問、引入新課、講授新課、定理的應用、鞏固練習、課堂小結、佈置作業七個環節。

1、複習提問—創設情景

教師演示動畫：將一等腰三角形對摺，啓發學生共同回憶等腰三角形是軸對稱圖形，複習軸對稱圖形的相關概念，並提出問題：如果以這個等腰三角形的頂點爲圓心，腰長爲半徑作圓，得到的圓是否是軸對稱圖形呢？這樣瞭解了學生的認知基礎，帶領學生做好學習新課的知識準備並逐步引入新課。

2、引入新課—揭示課題

在引入新課的同時，運用教具與學具（學生課前自制的圓形紙片）演示，讓每個學生都動手實驗、觀察。透過實驗，引導學生得出結論：板書：（1）圓是軸對稱圖形（2）任何一條直徑所在的直線（注：不能說直徑）都是它的對稱軸（3）圓的對稱軸有無數條（出示教具演示）。然後再請同學們在自己作的圖中作圖：（1）任作一弦AB，（2）過圓心作AB的垂線得直徑CD且交AB與點E。（出示教具演示）。引導學生分析直徑CD與弦AB的垂直關係，說明CD是垂直於弦的直徑，並設問：它除了上述的性質外，是否還有其它的性質呢？ 這樣就很自然的`匯出本節課的課題，此時板書課題--垂直於弦的直徑，這樣透過全體學生參與實驗，逐步匯出新課。

3、講解新課—探求新知

（1）探索垂徑定理

首先讓學生實驗，觀察並得出猜想，然後引導學生分析上述猜想的條件和結論，並將文字語言轉化成符號語言，寫出已知、求證，爲分清定理的題設和結論作好鋪墊，從而得到解決難點的目的。接下來再對學生引導分析，讓學生合作討論、展示成果。最後教師共同演示，驗證猜想的正確性，同時利用動畫得出證明方法，從而解決本節的又一難點—疊合法的證明方法。此時再板書垂徑定理的內容。

垂徑定理 垂直於弦的直徑平分弦，並且平分弦所對的兩條弧

定理註解①該定理中的直徑也可理解爲過圓心的直線，即：如果一條直線過圓心且垂直於一條弦，那麼這條直線平分弦，且平分弦所對的兩條弧。條件中的“垂”與“徑”缺一不可，結論中的“兩條弧”指弦所對的優弧和劣弧。②該定理用數學符號語言表達爲：因爲CD是直徑，CD⊥AB,所以AE=BE, 弧AC=弧BC,弧AD=弧BD③該定理可理解爲：若一條直線具有兩條性質a、過圓心b、垂直於一條弦，則此直線具有另外三條性質c、平分此弦d、平分此弦所對的劣弧e、平分此弦所對的優弧。加深對定理的理解，突出重點，分散難點，避免學生記混。

試一試：你能平分一條已知弧嗎？先獨立嘗試，後全體交流。

（2）定理變式

教師出示圖 思考：AB是⊙O的弦（不是直徑），作一條平分AB的直徑CD交AB於點E，你能發現圖中有哪些等量關係？說明理由。鼓勵學生獨立探索，然後互相交流得出結論。鼓勵有能力的學生書寫證明過程。

板書：垂徑定理的逆定理 平分弦（不是直徑）的直徑垂直於弦，並且平分弦所對的兩條弧。

強調：括號中的條件不可丟，由於兩條直徑總是互相平分的，而互相平分的兩條直徑不一定垂直。

學生採用類比法分組討論本定理的題設與結論、證明方法。師生共同評定。

強調：區別記憶定理及逆定理。

4、定理的應用

爲了及時鞏固，幫助學生對所學定理的理解與使用，講完定理及變式後，我依據學生的實際情況設計了題組訓練一和兩個例題。

5、鞏固練習—測評反饋

爲了檢驗學生對本課教學目標的達成情況，進一步加強定理的應用訓練，我設計了反饋題組訓練二，針對學生解答情況，及時查漏補缺。

6、課堂小結—深化提高

至此，估計學生基本能夠掌握定理，達到預定目標。

（1）利用提問形式，師生共同小結垂徑定理及其逆定理，以及解題技巧。

（2）教師加深點化：下列五點①直線過圓心②直線垂直於弦③直線平分弦（不是直徑）④直線平分所對的劣弧⑤直線平分所對的優弧。只要把其中的兩點作爲條件，另外三點作爲結論，構造的命題都是真命題。供學生課後探討。

7、佈置作業

目的在於檢驗學生對本節內容的理解和運用程度以及實際接受情況，並促使學生進一步鞏固和掌握所學的內容，我綜合學生的實際情況，爲了更好的因材施教，我的作業分爲必做題與選做題。目的是調動學生學習積極性，提高學生思維的廣度，培養學生良好的學習習慣及思維品質，讓學有餘力的學生進一步提高。題組訓練三及選做題。

五、板書設計

爲了使本節課更具理論性，邏輯性，我將板書設計爲三部分：第一部分爲圓的軸對稱性，第二部分爲垂徑定理及其逆定理，第三部分爲測評反饋區（學生板演區）。

附：

例1、如圖在⊙O中，弦AB的長爲8cm，圓心O到AB的距離爲3cm，求⊙O的半徑。

A B

說明：此題爲基礎題目，對各個層次的學生都要求獨立完成．總結出輔助線作法的七字口訣“半徑半弦弦心距”，構造“直角三角形”模型，以後經常用到。

例2、1300年前，我國隋朝建造的趙州石拱橋是圓弧形，它的跨度（即弧所對的弦長）爲37.4米，拱高（即弧的中點到弦的距離）爲7.2米，求橋拱所在圓的半徑（結果精確到0.1米）。

C

A D B

O

說明：學生獨立完成，老師指導解題方法和步驟；①對學生進行愛國主義的教育；②本題是垂徑定理的應用，解題過程中使用了列方程方法，向學生滲透用代數方法解決幾何問題的思想。解題思路：實際問題——（轉化，構造直角三角形）——數學問題．③應用垂徑定理計算：涉及四條線段的長：弦長a、圓半徑r、弦心距d、弓形高h，關係：r = h+d； r2 = d2 + ( )2

講完例題後指導學生歸納：在圓中解決弦的有關問題經常作的輔助線——弦心距.構造垂徑定理的基本圖形，垂徑定理和勾股定理的結合是計算弦長、半徑、弦心距等問題的常用方法；

題組訓練一 判斷正誤

（1）垂直於弦的直線平分弦，並且平分弦所對的弧。 ( )

（2）垂直於弦的直徑平分弦。 （ ）

（3）圓的不與直徑垂直的弦必不被這條直徑平分。 ( )

（4）平分弦的直徑垂直於弦，並且平分弦所對的兩條弧。（ ）

（5）圓內兩條非直徑的弦不能互相平分。 （ ）

題組訓練二

1、P95第7題（較簡單，過O作AB的垂線，垂足爲E，證得AC=BD）

2、如果圓的兩條弦互相平形，那麼這兩條弦所夾的弧相等嗎？爲什麼？（提示：符合條件的圖形有三種情況：圓心在平行弦外；在其中一條弦上；在平行弦內，但說理思路一樣。思路爲：作出垂直於弦的直徑，利用垂徑定理得兩組弧分別相等，利用“等量減等量差相等”可證得）

3、P88第2題（要求學生綜合運用所學知識解決問題，考查了學生分析問題、解決問題以及推理的能力）

題組訓練三

1、P95第8題說明：①此題主要是滲透分類思想，具體情況全面分析，不能遺漏任何一種情況，培養學生的嚴密性思維和解題方法：確定圖形——分析圖形——數形結合——解決問題；②培養學生作輔助線的方法和能力．

2、P95第9題如圖，一條公路的轉彎出是一段圓弧（即圖中的弧AB，點O是弧AB的圓心）其中AB=300m,C爲弧AB上一點，且OC⊥AB，垂足爲點D，CD=45m，求這段彎路的半徑。(解題思路於類似例2)

A

C

B

3、如圖點M爲⊙O內一點，利用尺規作一條弦AB,使AB過點M，並且AM=BM。

4、如圖把破殘的圓片複製完整。

選做題：第95頁12、13題。