垂徑定理說課稿

一、教材分析：

（一）教材的地位與作用

本節課圓的性質的重要體現，是圓的軸對稱性的具體化，也是今後證明線段等、角等、弧等、垂直關係的重要依據，同時也爲圓的計算和作圖提供了方法和依據，所以它在教材中處於舉足輕重的位置。

另外，本節課透過“實驗--觀察--猜想--合作交流--證明”的途徑，進一步培養學生的動手能力，觀察能力，分析、聯想能力、與人合作交流的能力，同時利用圓的軸對稱性，可以對學生進行數學美的教育。

因此，掌握垂徑定理對學生更好地認識現實世界，建立空間觀念、培養推理論證能力具有十分重要的作用。

（二）教學目標

根據《數學課程標準》對這部分知識的要求及本課的特點，結合學生的實情，本節課的教學目標確定爲：

（1）知識與技能目標

使學生理解圓的軸對稱性；掌握垂徑定理；學會運用垂徑定理解決有關的證明、計算和作圖問題。 培養學生觀察能力、分析能力及聯想能力。

（2）過程與方法目標

在實驗過程中，培養學生觀察、聯想、猜測、推理、探索發現新知識的能力和創新思維、創新想象的能力。透過分組訓練、深化新知，共同感受收穫的喜悅。

（3）情感與態度目標

在解決問題過程中，培養學生敢於面對挑戰和善於克服困難的意志，鼓勵學生大膽嘗試，勇於探索，從中獲得成功的經驗，充分享受數學之美，從而體驗學習數學的樂趣。

知識與技能目標固然重要，對於本節課：過程與方法和情感與態度更重要，因爲這部分是幾何教學的重點，是由實驗幾何向論證幾何的過渡，過程與方法可以幫助學生學會認識事物、分析問題的方法；有良好的情感態度能培養好的學習興趣，養成好的學習習慣。

（三）教學重點和難點

教學重點：垂徑定理及其應用。

（由於垂徑定理的題設與結論比較複雜，很容易混淆遺漏，所以，對垂徑定理的題設與結論區分是難點之一，同時，對定理的證明方法“疊合法”學生不常用到，是本節的又一難點。）

教學難點：對垂徑定理題設與結論的區分及定理的證明方法。

突出重點、突破難點的關鍵：創設具有啓發性的問題情境，透過學生動手操作，多媒體生動直觀地演示，讓學生經歷“提出問題——探究討論——歸納發現”的過程，在這個過程中，要給學生在充足的活動時間，使學生在積極思維的狀態下參與探究性學習 。

而理解垂徑定理的關鍵是圓的軸對稱性。

二、教材處理

關於教材的處理：

(1)對於圓的軸對稱性及垂徑定理的發現、證明，採用師生共同演示的方法。

(2)探究例1後引導學生髮現常見輔助線“半徑半弦弦心距”，得直角三角形中三邊的關係式 .注意前後知識的連結.

三、教學方法的選擇與應用

本節課我採用實驗操作，直觀演示，合作交流等方法指導學生動眼觀察、動手操作、動腦思考、動口表述，讓學生從實踐中獲取知識，並透過討論來深化對知識的理解。

同時採用多媒體輔助教學和實物演示，直觀生動地反映圖形特點。

四、教學模式

爲了實現教學目標，優化教學過程，本節課透過“創設情境——自主探索——合作交流——應用拓展——反思歸納”的'教學模式，力求着眼於學生探究能力和多向思維的培養。

五、教學過程

本節課我設計了七個環節組織教學：

1）創設情景，匯入新課

展示我國隋朝建造的趙州石拱橋，提出問題，你能求出橋拱所在圓的半徑嗎？以此情境，匯入圓的學習。

透過課本自學，讓學生了解圓中的弧，弦等概念。

並提出疑問：那麼我們將要學習的圓到底有什麼樣的性質呢？

設計意圖：透過我們的古老文明激發學生解決問題的慾望，引起學生的聯想，爲學生探究新知識埋下鋪墊。

2）動手操作，探究新知

實踐探究一

把一個圓沿着它的任意一條直徑對摺，重複幾次，你發現了什麼？由此你能得到什麼結論？

在教學過程中，注重對學生自主探索與合作交流能力的培養，在引入新課的同時，運用教具與學具（學生自制的圓形紙片）演示，讓每個學生都動手實驗、觀察，透過實驗，引導學生得出結論：

(1)圓是軸對稱圖形；

(2)經過圓心的每一條直線（注：不能說直徑）都是它的對稱軸；

(3)圓的對稱軸有無數條。

實踐探究二

請同學們在自己作的圓中作圖：

（1）任意作一條弦 AB；(2)過圓心作AB的垂線得直徑CD且交AB於E。

引導學生分析直徑CD與弦AB的垂直關係，說明CD是垂於弦的直徑，並設問：它除了上述性質外，是否還有其他性質呢？這樣就很自然地匯出本節課的課題，此時板書課題 垂徑定理 這樣透過全體學生參與實驗，逐步匯出新課。

設計意圖：上述一系列活動的目的是讓學生經歷“實驗（問題）——探究——歸納”的探索過程，在這個過程中，讓學生獲得直接參與的機會，在參與中，激發學習興趣；在實驗中，積累對數學的感知；在思考中，尋找解決問題的途徑；在探究中，形成對數學的理解；在交流中，完善自己的想法。整個過程，體現學生的自主探究，合作學習。從而，培養學生善於觀察，勇於猜想，敢於發現的精神。

3）引入新課---揭示課題：

首先讓學生實驗、觀察並得出猜想

①EA=EB；② 弧AC=BC；③弧AD=BD．

你是如何得到這個結論的？（可能有的學生用的是疊合法，有的學生用的是論證法，此處都予以表揚）

這裏要引導學生分析上述猜想的條件和結論，並將文字語言轉化爲符號語言，要能寫出

已知：CD是直徑，CD⊥AB

求證：①EA=EB；② 弧AC=BC；③弧AD=BD．

這樣做爲分清定理的題設和結論作好鋪墊，從而達到解決難點的目的。此時板書垂徑定理的內容。

垂徑定理 垂直於弦的直徑,平分弦,並且平分弦所對的兩條弧.

<目標訓練，及時反饋>

爲了強調定理中的條件，出示一組練習：在下列圖形中，符合垂徑定理的條件嗎？讓學生搶答，根據實際情況進一步強調“垂”與“徑”缺一不可。

設計意圖：及時給出練習，便於學生理解概念，有利於新知識的內化。本環節要注重學生在活動中的思考，鼓勵學生有條理地表達自己的思考過程，積累數學活動經驗。

實踐探究三

1.想一想：如下圖示，AB是⊙O的弦(不是直徑)，作一條平分AB的直徑CD，交AB於點M．

2.同學們利用圓紙片動手做一做，然後回答：（1）此圖是軸對稱圖形嗎?如果是，其對稱軸是什麼?（2）你能發現圖中有哪些等量關係？說一說你的理由。

學生依據探究二的經驗來論證探究三，從而得到垂徑定理的逆定理

3.拓展垂徑定理的逆定理，即“知二推三”

4）運用新知，體驗成功

例1：如圖，已知在⊙O中，弦AB的長爲8cm，圓心O到AB的距離爲3cm，求⊙O的半徑。

1. 介紹弦心距的概念：圓心到圓的一條弦的距離叫做弦心距．

2. 規範解題步驟

3. 總結圓中常用的輔助線思路

<目標訓練，及時反饋>

1．半徑爲4cm的⊙O中，弦AB=4cm, 那麼圓心O到弦AB的距離是 。

2．半徑爲2cm的圓中，過半徑中點且垂直於這條半徑的弦長是 。

3.如圖，MN所在的直線垂直平分AB，利用這樣的工具，最少兩次就可以找到圓形工件的圓心，你能說出理論依據嗎？

<學有所用>

趙州橋主橋拱的跨度(弧所對的弦的長)爲37.4m,拱高(弧的中點到弦的距離)爲7.2m，你能求出趙州橋主橋拱的半徑嗎？

設計意圖：爲了及時鞏固，幫助學生對所學定理的加深理解與使用講完定理及逆定理後，我依據學生的實際情況及他們的心理特點，設計了有梯度的，循序漸進的習題，讓學生嘗試。

本環節我採用學生自主探索與合作交流的方法，透過學生的探究體驗垂徑定理性質的應用。

5）知識梳理，自主評價

談談本節課的收穫（包括知識、方法、感想方面的梳理）

設計意圖：本環節我採用學生自己回憶並敘述的方式，讓其梳理知識，感受方法。這樣做的目的，既是對所學內容的複習鞏固，又訓練了學生的歸納和表達能力，有利於培養學生良好的數學思維習慣，形成知識體系。

6）學有所用，綜合提升

一座橋，橋拱是圓弧形（水面以上部分），測量時只測到橋下水面寬AB爲16m（如圖），橋拱最高處離水面4m

（1）求橋拱半徑；

（2）若大雨過後，橋下面河面寬度爲12m，問水面漲高了多少？．

2. 如圖，兩個圓都以點O爲圓心，大圓的弦AB交小圓於C，D，求證：AC＝BD．

設計意圖：本題在趙州橋的基礎上進行了綜合，使學生進一步理解垂徑定理，運用垂徑定理。

7）作業

作業設計本着有益有趣的原則，給學生以充分的發展空間，並鞏固本節所學內容。

設計方案：爲了適應各層次學生學習的需要，設計了分層作業，

必作題是課本練習題

選作題是課後試一試

另外，又設計了應用練習，如何確定殘缺的圓形零件的圓心？

讓學生帶着數學問題走出課堂，從而把學生的思維引向一個更加廣闊的空間，讓學生在課外運用所學的知識進行實踐、探究。