數值計算方法的課堂教學論文

一、引言

數學是科學之母。一門學科之是否成爲科學，決定於該學科的問題描述是否能化歸爲數學。工程技術屬於應用科學範疇，工程技術問題透過建立數學模型與數學產生直接聯繫。數學問題的分析解通常是極難得到的，因此必須歸結爲數值計算問題。例如：人造飛船的軌道研究、汽車耐撞性問題研究、大型橋樑設計、天氣預報等都必須數值求解。數值計算方法作爲研究數學問題的近似求解方法的課程，既有一般類數學課程理論上的抽象性和嚴謹性，又有工科類課程的實用性和實驗性特徵，是一門理論性和實踐性都很強的學科。該課程理論涉及面廣、方法應用性強、內容豐富，再加上隨着計算機技術的飛速發展，優秀數學軟件層出不窮，數值計算方法更能與計算機相結合，適應科學發展的需要，現已成爲各高校大部分理工科專業的必修課程。在數值計算方法的教學過程中，筆者發現了很多問題。本文對其中的部分問題進行了分析，並提出了幾點教學改革建議。

二、教學過程中存在的問題

以筆者所在的機械工程專業爲例，起初該課程爲學科選修課，選課學生少，且其中大部分是爲了湊學分而來的，學習興趣不高在所難免。後來學科培養計劃改變，該課程歸入專業必修課，選課學生數量增加了，但是學習熱情還是不高。究其原因，主要有以下幾點：

1.課程對數學基礎要求較高。本課程主要解決以下幾大類問題：非線性方程求根、線性代數方程組求解、矩陣特徵值與特徵向量的數值解法、插值與擬合、函數最佳逼近、數值微分與積分、常微分方程初值問題的求解等。需要先修的數學課程包括高等數學、線性代數等。學生只有掌握這些課程中的基本內容，才能學好數值計算方法課程。而這幾門課程均是難度較大的數學課程，學生的掌握程度本來就不好，甚至學過後已經忘記。由於同時要學習其他機械專業課程，學生不願再花大量的時間和精力去學習或複習相關的數學知識，特別是本來就對數學不感興趣的學生。所以在課程學習中，學生就會陷入“聽不懂，聽不懂就沒興趣，沒興趣就不想聽課，不聽課就不懂”這樣一個死循環。

2.教學課時的限制。該課程的內容覆蓋很廣，如“插值方法”這一章，就算法而言就有Lagrange插值、Aitken插值、Nevile插值、差分與差商形式Newton插值、Hermite插值、分段低次插值、三次樣條插值、B-樣條插值等。然而，總學時設定僅爲32學時。即使不面面俱到，挑選幾種典型的插值方法講解，也需要花費不少時間。因此，教師的課堂時間主要用來講解各問題相關算法的理論推導和算法設計，幾乎沒有幫學生回顧相關數學知識的時間，且在課堂內也沒有時間及時將理論運用於具體問題。學生覺得這是一門純數學課，枯燥無味又難懂，沒有學習興趣。

3.沒有與計算機很好結合。數值計算方法的一大特點是面向計算機。一個好的數值算法要透過程序設計在計算機上實現，要求用最簡練的語言、最快的速度、最少的存儲空間來實現某種計算結果。要達到上述要求，要求教師和學生既要掌握數值計算算法，又要能熟悉並熟練使用計算機語言。而現在的課堂教學重點大都側重在理論講解上，沒有很好地結合計算機編程，學生把這門課當成了數學課來上；且學生在課外也沒有將課堂上學到的算法付諸於計算機上實現。導致該門課程理論與實踐嚴重脫節，達不到預期的教學效果和教學目的。

三、如何提高課程的趣味性

綜合上述教學中出現的問題，要想教好這門課、使學生學到知識，最重要的是要提高課程本身的趣味性。“興趣是最好的老師”，學生有了興趣，纔會有學習的熱情，纔會把精力付諸於課程學習上。那麼關鍵問題是如何提高該課程的趣味性，主要從下面幾點出發。

1.結合專業特點，從實際出發，合理安排課時和教學內容。由於課時有限，而且授課對象主要是機械這樣的工科類專業的本科生，課程的主要目的是培養學生具有機械工程工作所需的數學能力，培養學生用數學的思想方法分析問題、解決問題的意識和能力，併爲後續的工作和學習打下良好基礎。那麼教師在安排課時要懂得取捨，選擇與機械專業緊密相關的內容講解，課程主要濃縮爲如下幾個主要內容：非線性方程的求解、線性方程組的求解、插值與擬合、數值微分與積分、常微分方程數值求解。而每個內容應該針對其中的經典算法進行講解。如非線性方程的求解，只需就二分法、簡單迭代法、Newton迭代法進行詳細講解，其他算法如弦割法、簡單Newton法等只需簡單提及即可；常微分方程的數值解法，只需對Euler法和Runge-Kutta方法詳細講解，其他內容略講即可。例如非線性方程求解中，判斷迭代法收斂的充分條件，複雜的證明過程可以略去不講。這樣一來，教學課時和內容安排合理，整堂課就不會全在枯燥無味的數學定理推導中度過，即使數學基礎不是很好的學生也能掌握並運用。而且學生能運用定理判斷一種迭代法是否收斂，本身也會獲得一定程度的滿足感和自信心，而學習興趣也可以在這之上建立起來。

2.對學生的計算機編程能力要求。該課程研究的是幾大類數學問題的數值算法，懂得算法之後，一定要結合計算機進行編程實現。但本門課程又不是專門的計算機編程課程，且由於學時限制，課堂上不可能有多餘的時間教授學生編程知識，因此該課程的先修課程還需要掌握一門計算機編程語言。現今的主流商用數學軟件主要有如下幾種：Matlab、Mathematica、Maple、MathCAD、C/C++、Fortran等，應選用一種熟悉或較易掌握的軟件將各種算法進行計算機實現。另外，也可選用如Mathematica這類商用軟件進行編程，該類軟件介面簡潔，語言簡單，且功能也比較強大，自學便能很容易上手。

3.將數學理論與計算機相結合。在課堂上利用數學軟件，繪製出直觀的可視化圖片，這樣可以把課程中涉及的抽象原理、方法以及複雜的計算過程直觀地呈現出來，使學生對相關算法有更直觀和清楚的認識，更容易理解，同時也可加強學生運用數學軟件進行編程計算的能力。如對非線性方程求根之前，先要找出有根區間，這時可以運用數學軟件先畫出函數曲線圖，找出有根區間的大概位置，然後選擇某一算法編程，觀察根在迭代過程中的收斂性特徵；又例如講解最小二乘法擬合曲線時，可以運用數學軟件將擬合出來的函數圖與原函數表對比，可更加直觀地理解插值和擬合函數中存在的誤差。

4.課程中穿插實踐環節，讓學生參與到課堂中來。某一算法或某類問題講解完後，應舉出一些算例，讓學生在課堂上分組討論解決的辦法，選擇怎樣的算法合適，怎麼編程實現等。對於一些相對較簡單的問題，可以請學生直接在課堂上編程求解並執行結果，然後一起討論該結果的可靠性，或者對編程和運算過程中出現的問題怎麼改正等。讓所有的學生都參與到課堂中來，以提高學生學習的興趣，而且同時能提高學生當場解決問題的能力、語言表達能力、計算機編程能力等。

5.課堂教學生動多樣化。教學時應充分利用多媒體提高教學效果。如在PPT中增加聲音、圖像、動畫等多種形式，在教學過程中形成多種感觀刺激，使原來學生誤解的枯燥、抽象的數學課直觀化、形象化、生動化，充分激發學生的學習熱情，從而大大地提高學生汲取知識的效率。另外，還可以將教學方式多樣化，避免教師“滿堂灌”、“唱獨角戲”的尷尬局面出現。除教師講解外，還可讓學生一起參與到課堂中來，如分成小組討論某個算法的優缺點，某個具體問題的解法，或採用小組競賽模式，針對某一問題看誰的算法簡潔、效率高、結果可靠等。

6.選擇學生感興趣的.算例。算例的選擇應有特點，或與學生專業相關，或與學生感興趣的事物相關，而不應該是單純的數學習題，應聯繫相關的背景或出處。如對於車輛專業的學生，講述曲線擬合這部分內容時，可以計算汽車車身外形曲線輪廓線爲例講述曲線擬合的過程，那麼可先給出一些典型車型的外形輪廓圖，然後針對某款車型，給出其輪廓線上某些型值點的數據表。學生在看到豐富多彩的汽車圖時，首先會感到眼前一亮，興趣馬上會提高，課堂氣氛也會得到活躍，而曲線擬合的知識也能很容易領會。

四、總結

要想上好數值計算方法這門課，增加課程的趣味性，提高學生的學習興趣是關鍵所在。要讓學生在這門課的學習中找到成就感並培養起自信心，覺得這是一門實用的課程，從而自身願意、樂於學習這門課。爲了達到上述目的，教學內容和教學方法的改革是勢在必行的。教師要根據不同專業學生的特點制定相應的教學計劃，教學內容與學生專業緊密結合，懂得取捨；同時要不斷充實並提高自己的專業素質，以適應課程改革的需要。這無疑對教師提出了很大的挑戰，要求投入更多的精力到這門課程中來。當然，增強課程的趣味性，激發學生的學習興趣只是數值計算方法課程教學改革的一方面，還有待在今後的教學實踐中不斷補充、健全和改進。