數學教學中錯誤概念的診斷與矯治論文

數學教學的理論和實踐研究表明，兒童在進入學校之前、在學習學校數學之先，頭腦裏並非空白一片，像一塊“白板”。事實上，他們在每天的玩耍中和生活中學會了數字的加減運算，形成了一定的“數學概念”。他們對現實世界中的空間形式和數量關係有自己的看法和理解，這種在接受正規的學校教育之前所擁有的概念一般稱爲前概念(也有學者稱之爲觀念)。他們的這種前概念是樸素的，雖不精確，但含有合理的成分，是兒童在現實生活中認識特殊事物的一個有價值的工具，是兒童學習新概念、建構新意義的基礎，因此，在教學中不應把學生建立在前概念基礎上的原有認知結構看成是一種思維的“垃圾”加以排斥，而應作爲認知的基礎，有待於向進階的科學的認知結構轉換。然而，與科學的數學概念相比，他們的前概念往往含有錯誤的傾向，有的甚至就是錯誤的，因而，前概念有時也稱爲錯誤概念，它們對數學教學具有重要影響。一般來說，學生頭腦中的前概念尤其是錯誤概念不但會妨礙對新知識的理解和建構，而且會導致學生產生新的錯誤概念。因此，加強對學生的前概念特別是錯誤概念的研究就成爲數學教學的一項重要任務。本文擬對數學教學中學生的錯誤概念的診斷與矯治作一初步探討。

一、錯誤概念及其特證

對於學生的錯誤概念，不同的學者使用了不同的術語，如相異概念（Viennot，1979)、幼稚概念（Resnick,1983)?相異框架(Driver&Easley,1978)等"。筆者認爲，將misconception譯爲“誤解概念”可能更爲恰當，因爲現代心理學在研究學生學習過程中經常遇到的L些錯誤概念時普遍採取了一種更爲“寬容”的態度，認爲學生所具有的觀念，無論是在學習前就已形成的樸素觀念，還是在各種情景、包括在學習過程中發展起來的“非標準觀念”，都是學生建構活動的產物。一般來說，學生的錯誤概念主要有以下特徵。

1.額固性

研究發現，學生頭腦中的錯誤概念具有極強的頑固性(或穩定性），即使在他們學習了科學的數學概念以後，也會背相應的數學概念的形式定義，但是，在解決實際問題的過程中，那些錯誤概念仍會潛在地存在着，影響學生的思維和問題解決。這就是說，學生的錯誤概念不可能被科學概念自動“抹去”。爲什麼學生的錯誤概念具有如此的頑固性呢?這是因爲學生花了相當多的時間和精力建構了自己的“樸素觀念”，無論在感情上還是在心理上都是有依賴感的，這些樸素的觀念曾經在他們的經驗中發揮過一定的作用。頑固性成爲概念轉變教學的嚴峻挑戰。

2.隱蔽性

所謂隱蔽性，就是學生本人不能自覺地意識到自己的錯誤概念，常常堅持和使用自己的錯誤概念去觀察、思考和解決有關數學問題。這是因爲學生的前概念是潛移默化地形成的，以潛在的形式存在着，平時並不表現出來。由於這種隱蔽性，爲錯誤概念的揭示增加了難度，所以需要數學教師採用各種方法來幫助學生拋棄錯誤概念。

3.表象性

學生認知事物的能力有限，他們的前概念主要形成於日常生活的`直接經驗和教學中對知識的字面理解，往往比較膚淺、直觀，一般停留在表象水平上，還不能脫離具體表象而形成抽象的概念。因而，自然也就無法擺脫局部事物或個別現象的片面性和侷限性而把握其本質，使得錯誤概念具有表象性的特徵，這也就爲錯誤概念的診斷和矯治提供了可能。

二、錯誤概念的診斷

在數學教學中錯誤概念診斷的有效方法是實施診斷性評價（diagnosticassessment)。所謂診斷性評價，就是透過一定的方式(定量的和定性的)發現學生在學習中存在的問題，並分析這些問題產生的原因，從而爲改進和調整教學策略提供依據。診斷性評價能夠幫助教師發現學生的錯誤概念，查明學生在概念學習中產生困難的真正原因，從而採取教學對策，促進學生概念的生成和轉變學習。具體來說，有以下幾種方法。

1.出聲思考

出聲思考（thinkingaloud)是認知心理學研究的一種方法，是指被試在進行操作的同時，報告其頭腦中的思維過程。學生的思維活動是我們無法感知的，出聲思考好似學生把思維過程直接呈現在我們面前，因而能讓我們比較有效地進行考查。這是發現隱蔽在學生頭腦中錯誤概念的一種簡便、有效的方法。這種方法要求被試報告頭腦中想到了什麼,而不是爲什麼這樣想。邊思考邊報告可能會影響被試的思維活動和報告的真實性,但研究表明，只要被試經過有效的訓練，出聲思考並不會影響思維的正常進行。因此，出聲思考是考查學生錯誤概念的一種有效方法。

2.製作概念圖

所謂概念圖（conceptmapping)就是把兩個以上以及它們之間的關係透過連接詞以圖解的形式表示出來形成的概念關係圖。它要求學生將有關某一主題不同層級的概念置於方框或圓圈中，再以各種連線將相關的概念或命題連接起來，以形象化的方式表徵學習者的認知結構及對某一主題概念的理解。製作概念圖，可以幫助教師瞭解學生對有關主題概念的理解(包括前概念)。例如，透過製作數系圖，就能瞭解初一學生對負數的認識情況。

3.診斷性測試

這是指以診斷學生普遍存在的前概念、揭示其錯誤概念產生的原因爲目的的一種特殊的測試。診斷性測試需要編制測試題，測試題的編制和選擇要針對所學內容，精心設計，要將學生容易產生錯誤理解的知識點呈現給學生，讓學生的前概念(錯誤概念)在測試中“曝光”。例如，要求小學生作出鈍角三角形三邊上的高，即可發現學生關於“垂直”的前概念。垂直，作爲幾何概念的本質特徵是點跟直線的位置關係，而相應的生活概念(前概念)的本質特徵是方向的上或下。測試表明，學生在學習幾何概念中的垂直時，大多以日常概念的“垂直”去置換幾何概念的相互垂直，從而導致作圖錯誤。

4.訪談

訪談是以口頭形式，根據被詢問者的回答而收集的客觀的、不帶偏見的事實材料，以正確把握對象知識結構的一種方式。訪談的核心是準備好訪談計劃，包括所提問題。問題要簡單明瞭，易於口頭回答。訪談時要做好心理調控，營造一種平等、民主、坦誠、和諧的氛圍。由於直面交談，訪談法具有較好的靈活性和適應性，能夠勘察學生的深層思維，是診斷學生對某些知識點的理解和揭示錯誤概念的一種最佳方法。但它對訪談者要求較高，工作量也較大，適合個案研究。

一般來說，爲了全面、準確地揭示學生的錯誤概念，在實際操作過程中不是單獨使用某一種方法，而是幾種方法常常結合起來使用，發揮各種方法的優勢。

三、矯治錯誤概念的教學策略

診斷學生的錯誤概念只是一種手段，不是目的，目的是爲教學決策提供依據，以便矯治學生的錯誤概念。針對學生的錯誤概念，西方學者進行了大量研究，提出了概念轉變學習現，被認爲是矯治學生錯誤概念，實現概念轉變學習的一種有效策略。

在傳統的數學教學中，認爲只要向學生傳授科學的數學概念，學生的錯誤概念便會自動得到更正或爲科學的數學概念所代替。建構主義指出，知識是不能被傳遞的，學習是學習者根據自己已有的知識經驗去主動建構的過程。大量的教學實踐也表明，學生錯誤概念的頑固性，致使這種做法是低效的甚至是無效的。實現概念轉變學習，最有效的方法是進行概念轉變教學（conceptualchangeteach?ing)。所謂概念轉變教學，就是促使學生原有概念改變、發展和重建的過程，就是學生由前概念(錯誤概念）向科學概念轉變的過程。

1.瞭解學生已有的知識經驗，促進前概念向科學的數學概念轉變

建構主義的概念轉變教學觀認爲，有效教學始於學生原有的知識和技能。透過對專家教師與新手的比較研究發現，在教學策略上，專家教師更關注學生的巳有知識和經驗，瞭解學生可能面對的困難，知道如何挖掘學生已有知識以使新的資訊有意義。因此，針對學生前概念的干擾，在進行數學概念教學時，首先應當瞭解、正視學生的前概念，發揮前概念的經驗性、淺顯性和通俗性的特點，使學校教學的數學概念以此爲鋪墊，促進學生由淺人深、由表及裏地從經驗性概念轉變到理論性概念，即透過對前概念的充實、區分或增加層級組織，使前概念轉變成科學的數學概念。

事實上，“學生對數學的思考往往來自於個別範例和活動”。課堂上教授的數學概念的抽象性、概括性、精確性的特點也迫切需要以日常概念的具體性、特殊性和操作性成分爲依託，以便能分化它的理論側面，使之藉助學生的具體經驗和事實，變得容易理解。在傳統教學中，學校數學教學的失敗在很多情況下是學生在學校中所學到的正規數學概念與源於日常生活的數學概念相脫離而導致的。實踐表明，一旦教師注意到學習者帶到學習任務中已有知識和經驗，並將這些當作新概念的起點時，在教學過程中監控學生的概念轉化，就能促進學生的概念學習。

2.引發認知衝突,辨清新舊界限，實現概念轉變學習

當學生的前概念與新概念不一致或矛盾時，必須辨清它們之間的分歧所在，學生才能轉變、重組自己的已有觀念。學生在真正學習新概念之前，需要對根深蒂固的錯誤概念進行重組，因爲這些錯誤概念會干擾學習。格勞斯認爲,改變“錯誤概念對新概念學習排斥”現象的唯一可能方法是迫使學生正確面對他們的錯誤認識與所學的科學原理之間的矛盾。

因此，教師必須讓學生意識到他們的錯誤(前)概念，他們才能改變自己的觀念，進行認知結構的重建。而促使學生轉變錯誤概念的最好方式是引發認知衝突，認知衝突使學生產生對前(或錯誤)概念的不滿。只有經過這種衝突才能促使學生產生重建概念的心理表徵。透過挑選涉及已知錯誤概念的關鍵任務，教師能夠幫助學生檢驗他們的思維，弄清楚爲什麼他們的各種各樣的想法需要改變，以及怎麼改變，這種模式便會使學生進人認知衝突。

一般來說，認知衝突的產生主要有以下三種情況：一是認知衝突產生於學生的預測同其經驗的結果相反時；二是認知衝突產生於學生的觀點與教師的觀點不一致時；三是認知衝突產生於學生之間不同觀念的碰撞中。認知衝突激起學生的求知慾和探索心向，促使學生進行認知結構的同化和順應。因此,引發認知衝突是激勵學生實現概念轉變學習的契機和條件。

1.重視概念生成的凝聚,構建概念網絡

凝聚（encapsulation)是數學概念轉變學習的一^有效策略,是指概念由“過程”向“對象”的轉化。因爲在數學中很多概念最初是作爲一個過程得到引進的，如函數概念最初是作爲對應法則引進的,但隨着學習的不斷深入,其最終又轉化成了一個研究對象--對其性質等進行研究，如單調性、連續性、可導性等,從而函數就獲得了新的意義,變成了數學對象。正因如此，函數概念的表徵學習就經歷了一個凝聚的過程:對應說一映射說一關係說,使函數概念實現了由過程到對象的轉變,從而達到“凝聚”。可見,在概念學習中，學生僅憑單純的機械記憶概念的形式定義是不行的，是不可能真正理解新概念並在新的情境中進行正確的應用的，而必須搞淸概念的來龍去脈--建立概念網絡。由於數學概念是相互聯繫的,具有一定的複雜性,所以只有在與其他概念所形成的網絡中才能全面地理解它。

概念轉變學習觀認爲，新概念的學習是以已有知識和經驗爲基礎的一個主動的意義建構過程，建構的方式是同化和順應。同化和順應是概念轉變的機制。同化，使原有認識結構的內容在量上得到充實和豐富;順應,使原有認知結構得到重組或重構,統攝程度更高，發生了結構性的變化。這也說明，學生頭腦中所擁有的概念的心理表徵是相互聯繫的,是具有一定的結構關係的。

對學習和理解數學概念來說,結構是關鍵。當不同數學概念的內在表徵之間建立了一定的聯繫時，就可稱謂建立了概念網絡。組織良好的概念網絡是一種“立體結構”:在層與層之間,可比喻爲垂直的譜系,在同一層級上則像蜘蛛網一樣。“當網絡的結構像譜系那樣時,一些表徵從屬於另一些表徵，即作爲後者的細節從屬於更爲一般的表徵……在第二個比喻中，網絡就像一張蛛網，其中的結點可以被看成所代表的各條資訊，結點間的線則代表資訊間的聯繫或關係。蛛網中的各個點最終都是相互聯結的,從而可按照已建立的聯繫在其中轉移”。例如，多邊形就可形成一種立體結構概念網絡，它是“譜系”與“蛛網”的混合。

運用已有知識經驗建構新概念的轉化過程，在本質上就是不斷豐富和建立新的認知結構，形成縱橫交錯、聯繫密切的概念網絡，就是將一個新概念納入已有的概念網絡，或者由於新概念的進入與原有觀念中的錯誤概念的衝突而引起概念網絡的重組或重構，從而組織成爲一個聯繫更爲合理、觀念更爲恰當的新網絡。將一個新概念納人已有認知結構，其與概念網絡中結點的聯繫越爲密切且爲多層級間的聯繫,反映主體對其理解就越爲全面和深刻。理解一個數學概念就是指新概念的心理表徵已經成爲主體已有的概念網絡的一個組成部分，即與主體已有的認知結構建立了廣泛的聯繫。這種聯繫既有邏輯的聯繫,也有認知之間的聯繫，且理解的程度就取決於聯繫的數目和強度。說一個數學概念被理解了，就是指其和現有的網絡是由更強或更多的關係聯結着的。

因此，在數學概念轉變學習中，我們就不能着眼於或滿足於學生已有(記住)數學概念的數量;與其相比,概念間的良好組織更爲重要。總之,只有新概念與頭腦中組織良好的概念網絡建立穩定、靈活、密切的聯繫之後，纔可說是獲得了新概念和實現了概念轉變學習。

綜上所述，開展關於學生頭腦中的前概念或錯誤概念的研究，是當前數學教學改革的需要，是運用建構主義理論指導數學教學改革的需要。如何揭示學生頭腦中那些樸素的、不精確的、甚至是錯誤的概念，採用何種教學策略幫助學生將這些錯誤概念轉變爲科學的數學概念，仍是擺在我們面前的需要深入探討的重要而又有意義的課題。