等差數列求和方法總結
求數列的前n項和要藉助於通項公式,即先有通項公式,再在分析數列通項公式的基礎上,或分解爲基本數列求和,或轉化爲基本數列求和。當遇到具體問題時,要注意觀察數列的特點和規律,找到適合的方法解題。下面是小編整理的相關內容,歡迎閱讀參考!
一.用倒序相加法求數列的前n項和
如果一個數列{an},與首末項等距的兩項之和等於首末兩項之和,可採用把正着寫與倒着寫的兩個和式相加,就得到一個常數列的和,這一求和方法稱爲倒序相加法。我們在學知識時,不但要知其果,更要索其因,知識的得出過程是知識的源頭,也是研究同一類知識的工具,例如:等差數列前n項和公式的推導,用的就是“倒序相加法”。
例題1:設等差數列{an},公差爲d,求證:{an}的前n項和Sn=n(a1+an)/2
解:Sn=a1+a2+a3+...+an ①
倒序得:Sn=an+an-1+an-2+…+a1 ②
①+②得:2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+…+(an+a1)
又∵a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=an+a1
∴2Sn=n(a2+an) Sn=n(a1+an)/2
二.用公式法求數列的前n項和
對等差數列、等比數列,求前n項和Sn可直接用等差、等比數列的前n項和公式進行求解。運用公式求解的注意事項:首先要注意公式的應用範圍,確定公式適用於這個數列之後,再計算。
三.用裂項相消法求數列的前n項和
裂項相消法是將數列的一項拆成兩項或多項,使得前後項相抵消,留下有限項,從而求出數列的前n項和。
四.用錯位相減法求數列的.前n項和
錯位相減法是一種常用的數列求和方法,應用於等比數列與等差數列相乘的形式。即若在數列{an·bn}中,{an}成等差數列,{bn}成等比數列,在和式的兩邊同乘以公比,再與原式錯位相減整理後即可以求出前n項和。
五.用迭加法求數列的前n項和
迭加法主要應用於數列{an}滿足an+1=an+f(n),其中f(n)是等差數列或等比數列的條件下,可把這個式子變成an+1-an=f(n),代入各項,得到一系列式子,把所有的式子加到一起,經過整理,可求出an,從而求出Sn。
六.用分組求和法求數列的前n項和
分組求和法就是對一類既不是等差數列,也不是等比數列的數列,若將這類數列適當拆開,可分爲幾個等差、等比或常見的數列,然後分別求和,再將其合併。
七.用構造法求數列的前n項和
構造法就是先根據數列的結構及特徵進行分析,找出數列的通項的特徵,構造出我們熟知的基本數列的通項的特徵形式,從而求出數列的前n項和。
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