有關數列求和公式方法總結

總結是指社會團體、企業單位和個人在自身的某一時期、某一項目或某些工作告一段落或者全部完成後進行回顧檢查、分析評價，從而肯定成績，得到經驗，找出差距，得出教訓和一些規律性認識的一種書面材料。以下是小編精心整理的數列求和公式方法總結，供大家參考借鑑，希望可以幫助到有需要的朋友。

一、分組轉化求和法

若一個數列的通項公式是由若干個等差數列或等比數列或可求和的數列構成，則求這個數列的前n項和Sn時可以用分組求和法求解。一般步驟是：拆裂通項――重新分組――求和合並。

例1求Sn=1×4+2×7+3×10+…+n（3n+1）的和

解由和式可知，式中第n項爲an=n（3n+1）=3n2+n

∴Sn=1×4+2×7+3×10+…+n（3n+1）

=（3×12+1）+（3×22+2）+（3×32+3）+…+（3n2+n）

=3（12+22+32+…+n2）+（1+2+3+…+n）

=3×16n（n+1）（2n+1）+n（n+1）2

=n（n+1）2

二、奇偶分析求和法

求一個數列的前n項和Sn，如果需要對n進行奇偶性討論或將奇數項、偶數項分組求和再求解，這種方法稱爲奇偶分析法。

例2：求和：Sn=-1+3-5+7-9+11-…+（-1）n（2n-1）

分析：觀察數列的通項公式an=（-1）n（2n-1）可知Sn與數列項數n的奇偶性有關，故利用奇偶分析法及分組求和法求解，也可以在奇偶分析法的基礎上利用並項求和法求的結果。

解：當n爲偶數時，

Sn=-1+3-5+7-9+11-…+（-1）n（2n-1）

=-（1+5+9+…+2n-3）+（3+7+11+…+2n-1）

=-n2（1+2n-3）2+n2（3+2n-1）2

=-n2-n2+n2+n2=n

當n爲奇數時，

Sn=-1+3-5+7-9+11-…+（-1）n（2n-1）

=-（1+5+9+…+2n-3）+（3+7+11+…+2n-1）

=-n+12（1+2n-1）2+n-12（3+2n-3）2

=-n2+n2+n2-n2=-n

綜上所述，Sn=（-1）nn

三、並項求和法

一個數列an的前n項和Sn中，某些項合在一起就具有特殊的`性質，因此可以幾項結合求和，再求Sn，稱之爲並項求和法。形如an=（-1）nf（n）的類型，就可以採用相鄰兩項合併求解。如例3中可用並項求和法求解。

例3：求S=-12+22-32+42-…-992+1002

解S=（-12+22）+（-32+42）+…+（-992+1002）

=（1+2）+（3+4）+…+（99+100）=5050

四、基本公式法

如果一個數列是符合以下某種形式，如等差、等比數列或通項爲自然數的平方、立方的，那麼可以直接利用以下數列求和的公式求和。

常用公式有

（1）等差數列求和公式：Sn=na1+n（n-1）2d=n（a1+an）2

（2）等比數列求和公式：Sn=na1a1（1-qn）1-q=a1-anq1-q（q=1）（q≠1）

（3）1+2+3+…+n=n（n+1）2

（4）1+3+5+…+2n-1=n2

（5）2+4+6+…+2n=n（n+1）

（6）12+22+32+…+n2=16n（n+1）（2n+1）

（7）13+23+33+…+n3=14n2（n+1）2

例1：已知等比數列an的通項公式是an=12n-1，設Sn是數列an的前n項和，求Sn。

解：∵an=12n-1∴a1=1，q=12

∴Sn=1+12+14+…+12n-1=1（1-12n）1-12=2-12n-1

五、裂項相消法

如果一個數列an的通項公式能拆分成兩項差的形式，並且相加過程中可以互相抵消至只剩下有限項時，這時只需求有限項的和，把這種求數列前n項和Sn的方法叫做裂項相消法。

裂項相消法中常用的拆項轉化公式有：

（1）1n（n+1）=1n-1n+1，1n（n+k）=1k（1n-1n+k）

（2）1（2n-1）（2n+1）=12（12n-1-12n+1）

（3）1n（n+1）（n+2）=12[1n（n+1）-1（n+1）（n+2）]

（4）1n+n+1=n+1-n，1n+n+k=1k（n+k-n），

其中n∈N，k∈R且k≠0

例5：求數列1，11+2，11+2+3，…，11+2+3+…+n，…的前n和Sn。

解由題知，an=11+2+3+…+n=2n（n+1）=2（1n-1n+1）

∴Sn=1+11+2+11+2+3+…+11+2+3+…+n

=2（1-12）+2（12-13）+2（13-14）+…+2（1n-1n+1）

=2（1-12+12-13+13-14+…+1n-1n+1）

=2（1-1n+1）=2nn+1