通項公式方法總結
通項公式是高中數學的重點與難點,以下是專門爲你收集整理的通項公式方法總結,供參考閱讀!
通項公式方法總結
一、題目已知或透過簡單推理判斷出是等比數列或等差數列,直接用其通項公式。
例:在數列{an}中,若a1=1,an+1=an+2(n1),求該數列的通項公式an。
解:由an+1=an+2(n1)及已知可推出數列{an}爲a1=1,d=2的等差數列。所以an=2n-1。此類題主要是用等比、等差數列的定義判斷,是較簡單的'基礎小題。
二、已知數列的前n項和,用公式
S1 (n=1)
Sn-Sn-1 (n2)
例:已知數列{an}的前n項和Sn=n2-9n,第k項滿足5
(A) 9 (B) 8 (C) 7 (D) 6
解:∵an=Sn-Sn-1=2n-10,∴5<2k-10<8 ∴k=8 選 (B)
此類題在解時要注意考慮n=1的情況。
三、已知an與Sn的關係時,通常用轉化的方法,先求出Sn與n的關係,再由上面的(二)方法求通項公式。
例:已知數列{an}的前n項和Sn滿足an=SnSn-1(n2),且a1=-,求數列{an}的通項公式。
解:∵an=SnSn-1(n2),而an=Sn-Sn-1,SnSn-1=Sn-Sn-1,兩邊同除以SnSn-1,得---=-1(n2),而-=-=-,∴{-} 是以-爲首項,-1爲公差的等差數列,∴-= -,Sn= -,
再用(二)的方法:當n2時,an=Sn-Sn-1=-,當n=1時不適合此式,所以,
- (n=1)
- (n2)
四、用累加、累積的方法求通項公式
對於題中給出an與an+1、an-1的遞推式子,常用累加、累積的方法求通項公式。
例:設數列{an}是首項爲1的正項數列,且滿足(n+1)an+12-nan2+an+1an=0,求數列{an}的通項公式
解:∵(n+1)an+12-nan2+an+1an=0,可分解爲[(n+1)an+1-nan](an+1+an)=0
又∵{an}是首項爲1的正項數列,∴an+1+an ≠0,∴-=-,由此得出:-=-,-=-,-=-,…,-=-,這n-1個式子,將其相乘得:∴ -=-,
又∵a1=1,∴an=-(n2),∵n=1也成立,∴an=-(n∈N*)
五、用構造數列方法求通項公式
題目中若給出的是遞推關係式,而用累加、累積、迭代等又不易求通項公式時,可以考慮透過變形,構造出含有 an(或Sn)的式子,使其成爲等比或等差數列,從而求出an(或Sn)與n的關係,這是近一、二年來的高考熱點,因此既是重點也是難點。
例:已知數列{an}中,a1=2,an+1=(--1)(an+2),n=1,2,3,……
(1)求{an}通項公式 (2)略
解:由an+1=(--1)(an+2)得到an+1--= (--1)(an--)
∴{an--}是首項爲a1--,公比爲--1的等比數列。
由a1=2得an--=(--1)n-1(2--) ,於是an=(--1)n-1(2--)+-
又例:在數列{an}中,a1=2,an+1=4an-3n+1(n∈N*),證明數列{an-n}是等比數列。
證明:本題即證an+1-(n+1)=q(an-n) (q爲非0常數)
由an+1=4an-3n+1,可變形爲an+1-(n+1)=4(an-n),又∵a1-1=1,
所以數列{an-n}是首項爲1,公比爲4的等比數列。
若將此問改爲求an的通項公式,則仍可以透過求出{an-n}的通項公式,再轉化到an的通項公式上來。
又例:設數列{an}的首項a1∈(0,1),an=-,n=2,3,4……(1)求{an}通項公式。(2)略
解:由an=-,n=2,3,4,……,整理爲1-an=--(1-an-1),又1-a1≠0,所以{1-an}是首項爲1-a1,公比爲--的等比數列,得an=1-(1-a1)(--)n-1
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