求數列極限方法總結

極限是考研數學每年必考的內容,在客觀題和主觀題中都有可能會涉及到，平均每年直接考查所佔的分值在10分左右，而事實上，由於這一部分內容的基礎性，每年間接考查或與其他章節結合出題的比重也很大。極限的計算是核心考點，考題所佔比重最大。熟練掌握求解極限的方法是得高分的關鍵。

極限無外乎出這三個題型：求數列極限、求函數極限、已知極限求待定參數。 熟練掌握求解極限的方法是的高分地關鍵, 極限的運算法則必須遵從,兩個極限都存在纔可以進行極限的運算,如果有一個不存在就無法進行運算。以下我們就極限的內容簡單總結下。

極限的計算常用方法：四則運算、洛必達法則、等價無窮小代換、兩個重要極限、利用泰勒公式求極限、夾逼定理、利用定積分求極限、單調有界收斂定理、利用連續性求極限等方法。

四則運算、洛必達法則、等價無窮小代換、兩個重要極限是常用方法，在基礎階段的學習中是重點，考生應該已經非常熟悉，進入強化複習階段這些內容還應繼續練習達到熟練的程度;在強化複習階段考生會遇到一些較爲複雜的極限計算，此時運用泰勒公式代替洛必達法則來求極限會簡化計算，熟記一些常見的麥克勞林公式往往可以達到事半功倍之效; 夾逼定理、利用定積分定義常常用來計算某些和式的極限，如果最大的分母和最小的分母相除的極限等於1，則使用夾逼定理進行計算，如果最大的分母和最小的分母相除的極限不等於1，則湊成定積分的定義的形式進行計算;單調有界收斂定理可用來證明數列極限存在，並求遞歸數列的極限。

與極限計算相關知識點包括：

連續、間斷點以及間斷點的分類：判斷間斷點類型的基礎是求函數在間斷點處的左右極限；

可導和可微，分段函數在分段點處的導數或可導性，一律透過導數定義直接計算或檢驗 存在的定義是極限 存在；

漸近線，(垂直、水平或斜漸近線)；

多元函數積分學，二重極限的討論計算難度較大，常考查證明極限不存在。

下面我們重點講一下數列極限的典型方法。

求數列極限可以歸納爲以下三種形式。

1.抽象數列求極限

這類題一般以選擇題的形式出現, 因此可以透過舉反例來排除。此外,也可以按照定義、基本性質及運算法則直接驗證。

2.求具體數列的極限,可以參考以下幾種方法：

利用單調有界必收斂準則求數列極限。首先,用數學歸納法或不等式的'放縮法判斷數列的單調性和有界性,進而確定極限存在性；其次,透過遞推關係中取極限，解方程,從而得到數列的極限值。

利用函數極限求數列極限。如果數列極限能看成某函數極限的特例,形如,則利用函數極限和數列極限的關係轉化爲求函數極限,此時再用洛必達法則求解。

3.項和或項積數列的極限,主要有以下幾種方法：

利用特殊級數求和法。如果所求的項和式極限中通項可以透過錯位相消或可以轉化爲極限已知的一些形式，那麼透過整理可以直接得出極限結果。

利用冪級數求和法。若可以找到這個級數所對應的冪級數,則可以利用冪級數函數的方法把它所對應的和函數求出,再根據這個極限的形式代入相應的變量求出函數值。

利用定積分定義求極限。若數列每一項都可以提出一個因子,剩餘的項可用一個通項表示, 則可以考慮用定積分定義求解數列極限。

利用夾逼定理求極限。若數列每一項都可以提出一個因子,剩餘的項不能用一個通項表示,但是其餘項是按遞增或遞減排列的,則可以考慮用夾逼定理求解。

求項數列的積的極限,一般先取對數化爲項和的形式,然後利用求解項和數列極限的方法進行計算。