高中數學幾類不同增長的函數模型練習題

一、選擇題

1．下列函數中，增長速度最慢的是()

A．y＝6x B．y＝log6x

C．y＝x6 D．y＝6x

[答案] B

2．下列函數中，隨x的增大，增長速度最快的是()

A．y＝50(xZ) B．y＝1 000x

C．y＝0.42x－1 D．y＝1100 000ex

[答案] D

[解析] 指數函數增長速度最快，且e2，因而ex增長最快．

3．(2013～2014長沙高一檢測)如圖，能使不等式log2x＜x2＜2x成立的自變量x的取值範圍是()

A．x＞0 B．x＞2

C．x＜2 D．0＜x＜2

[答案] D

4．以下四種說法中，正確的是()

A．冪函數增長的速度比一次函數增長的速度快

B．對任意的x＞0，xn＞logax

C．對任意的x＞0，ax＞logax

D．不一定存在x0，當x＞x0時，總有ax＞xn＞logax

[答案] D

[解析] 對於A，冪函數與一次函數的增長速度受冪指數及一次項係數的影響，冪指數與一次項係數不確定，增長幅度不能比較；對於B，C，當0＜a＜1時，顯然不成立．當a＞1，n＞0時，一定存在x0，使得當x＞x0時，總有ax＞xn＞logax，但若去掉限制條件“a＞1，n＞0”，則結論不成立．

5．三個變量y1，y2，y3隨着變量x的變化情況如下表：

x 1 3 5 7 9 11

y1 5 135 625 1715 3645 6655

y2 5 29 245 2189 19685 177149

y3 5 6.10 6.61 6.985 7.2 7.4

則關於x分別呈對數函數、指數函數、冪函數變化的變量依次爲()

A．y1，y2，y3 B．y2，y1，y3

C．y3，y2，y1 D．y1，y3，y2

[答案] C

[解析] 透過指數函數、對數函數、冪函數等不同函數模型的增長規律比較可知，對數函數的增長速度越來越慢，變量y3隨x的變化符合此規律；指數函數的增長速度越來越快，y2隨x的變化符合此規律；冪函數的增長速度介於指數函數與對數函數之間，y1隨x的變化符合此規律，故選C.

6．四個人賽跑，假設他們跑過的路程fi(x)(i{1,2,3,4})和時間x(x＞1)的函數關係分別是f1(x)＝x2，f2(x)＝4x，f3(x)＝log2x，f4(x)＝2x，如果他們一直跑下去，最終跑在最前面的人具有的函數關係是()

A．f1(x)＝x2 B．f2(x)＝4x

C．f3(x)＝log2x D．f4(x)＝2x

[答案] D

[解析] 顯然四個函數中，指數函數是增長最快的，故最終跑在最前面的人具有的函數關係是f4(x)＝2x，故選D.

二、填空題

7．現測得(x，y)的兩組對應值分別爲(1,2)，(2,5)，現有兩個待選模型，甲：y＝x2＋1，乙：y＝3x－1，若又測得(x，y)的一組對應值爲(3,10.2)，則應選用________作爲函數模型．

[答案] 甲

8．某食品加工廠生產總值的月平均增長率爲p，則年平均增長率爲________．

[答案] (1＋p)12－1

9．在某種金屬材料的耐高溫實驗中，溫度y(℃)隨着時間t(分)變化的情況由計算機記錄後顯示的圖象如圖所示：現給出下列說法________

①前5分鐘溫度增加越來越快；

②前5分鐘溫度增加越來越慢；

③5分鐘後溫度保持勻速增加；

④5分鐘後溫度保持不變．

[答案] ②③

[解析] 前5分鐘，溫度y隨x增加而增加，增長速度越來越慢；

5分鐘後，溫度y隨x的變化曲線是直線，即溫度勻速增加．故說法②③正確．

　三、解答題

10．(2013～2014瀋陽高一檢測)某種新栽樹木5年成材，在此期間年生長率爲20%，以後每年生長率爲x%(x＜20)．樹木成材後，既可以砍伐重新再栽，也可以繼續讓其生長，哪種方案更好？

[解析] 只需考慮10年的情形．設新樹苗的木材量爲Q，則連續生長10年後木材量爲：Q(1＋20%)5(1＋x%)5,5年後再重栽的`木才量爲2Q(1＋20%)5，畫出函數y＝(1＋x%)5與y＝2的圖象，用二分法可求得方程(1＋x%)5＝2的近似根x＝14.87，故當x＜14.87時就考慮重栽，否則讓它繼續生長．

11．有甲、乙兩個水桶，開始時水桶甲中有a升水，水桶乙中無水，水透過水桶甲的底部小孔流入水桶乙中，t分鐘後剩餘的水符合指數衰減曲線y＝ae－nt，假設過5分鐘時水桶甲和水桶乙的水相等，求再過多長時間水桶甲中的水只有a8.

[解析] 由題意得，ae－5n＝a－ae－5n，即e－5n＝12，設再過t分鐘水桶甲中的水只有a8，得ae－n(t＋5)＝a8，

所以(12)t＋55＝(e－5n)t＋55＝e－n(t＋5)＝18＝(12)3，

t＋55＝3，

t＝10.

再過10分鐘水桶甲中的水只有a8.

12．某地區今年1月，2月，3月患某種傳染病的人數分別爲52，54,58.爲了預測以後各月的患 病人數，甲選擇了模型y＝ax2＋bx＋c，乙選擇了模型y＝pqx＋r，其中y爲患病人數，x爲月份數，a，b，c，p，q，r都是常數．結果4月，5月，6月份的患病人數分別爲66,82,115，你認爲誰選擇的模型較好？

[解析] 依題意：

得a12＋b1＋c＝52，a22＋b2＋c＝54，a32＋b3＋c＝58，

即a＋b＋c＝52，4a＋2b＋c＝54，9a＋3b＋c＝58，解得a＝1，b＝－1，c＝52.

甲：y1＝x2－x＋52，

又pq1＋r＝52 ①pq2＋r＝54 ②pq3＋r＝58 ③

①－②，得pq2－pq1＝2 ④

②－③，得pq3－pq2＝4 ⑤

⑤④，得q＝2，

將q＝2代入④式，得p＝1，

將q＝2，p＝1代入①式，得r＝50，

乙：y2＝2x＋50，

計算當x＝4時，y1＝64，y2＝66；

當x＝5時，y1＝72，y2＝82；

當x＝6時，y1＝82，y2＝114.

可見，乙選擇的模型較好．