等腰三角形的性質定理和判定定理及其證明

在生活、工作和學習中，許多人都寫過證明吧，證明是具有證明特定事件效力的檔案。我們該怎麼擬定證明呢？下面是小編整理的等腰三角形的性質定理和判定定理及其證明，希望能夠幫助到大家。

等腰三角形的性質定理和判定定理及其證明1

教學目標

1、掌握證明的基本步驟和書寫格式。

2、經歷“探索－發現－猜想－證明”的過程。能夠用綜合法證明直角三角形的有關性質定理和等邊三角形的判定定理。

教學重點

等邊三角形的判定定理和直角三角形的性質定理。

教學難點

能夠用綜合法證明等邊三角形的判定定理和直角三角形的性質定理。

教學方法

教學後記

教學內容及過程

教師活動學生活動

一、定理：一個角等於60°的等腰三角形是等邊三角形

1．引導學生回憶上節課的內容，讓學生思考：等腰三角形滿足什麼條件時便成爲等邊三角形？讓學生對普遍聯繫和相互轉化有一個感性的認識。

2．肯定學生的回答，並讓學生進一步思考：有一個角是60°的等腰三家形是等邊三角形嗎？組織學生交流自己的想法。滲透分類討論的思維方法。

3．關注學生得出證明思路的過程，講評。講解定理：有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形。

二、一種特殊直角三角形的性質

1．讓學生拼擺事先準備好的三角尺，提問：能拼成一個怎樣的三角形？能否拼出一個等邊三角形？並說明理由。

2．肯定學生的發現和解釋，在此基礎上進一步深入提問：在直角三角形中，30°所對的直角邊與斜邊有怎樣的大小關係？

3．演示規範的證明步驟，同時引導學生意識到：透過實際操作探索出的結論還需要給予理論證明。

4．讓學生準備一張正方形紙片，，按要求動手摺疊。

5．講解例題，應用定理。

6．佈置學生做練習。

練習：課本隨堂練習1

三、課堂小結：

透過這節課的學習你學到了什麼知識？瞭解了什麼證明方法？

四、作業：同步練習

板書設計：

1．積極地自主探索、思考等腰三角形成爲等邊三角形的條件。可能會從邊和角兩個角度給出答案。

2．積極思考，透過老師的點撥，分類討論當這個角分別是底角和頂角的情況。

3．認真聽講，體會分類討論的數學思維方法，理解定理。

1．積極動手操作，並很快得到結果：可以拼出等邊三角形。

2．在拼擺的基礎上繼續探索，得出結論。並在探索的過程中得到證明的思路。

3．認真聽講，體會從探索和嘗試中得到結論的過程和證明方法的步驟，掌握定理。

4．很有興趣地摺疊紙片，體會定理的應用。

5．聽講，體會定理的應用。

6．認真做練習。

（學生小結：掌握證明與等邊三角形、直角三角形有關的性質定理和判定定理）

等腰三角形的性質定理和判定定理及其證明2

教學目標

1、掌握證明的基本步驟和書寫格式。

2、經歷“探索－發現－猜想－證明”的過程。能夠用綜合法證明等腰三角形的關性質定理和判定定理。

3、結合實例體會反證法的含義。

教學重點

等腰三角形的關性質定理和判定定理。

教學難點

能夠用綜合法證明等腰三角形的關性質定理和判定定理。

教學方法

教學後記

教學內容及過程

教師活動學生活動

一、等腰三角形性質的探究

1．讓學生回憶上節課的教學內容，引導學生思考從等腰三角形中能找到哪些相等的線段。

2．播放課件，結合剛纔的問題講解例1的命題，併爲後面將此性質拓展埋下伏筆。

3．分別演示：

∠ABC，∠ACE=∠ACB，k=，時，BD是否與CE相等。引導學生探究、猜測當k爲其他整數時，BD與CE的關係。

4．引導學生探究，對於上述例題，當AD=AC，AE=AB，k=，時，透過對例題的引申，培養學生的發散思維，經歷探究—猜測—證明的學習過程。

5．引導學生進一步推廣，把上面3、4中的k取一般的自然數後，原結論是否仍然成立？要求學生說明理由或給出證明。

6．對學生探究的結果予以彙總、點評，鼓勵學生在自己做題目的時候也要多思多想，並要求學生對猜測的結果給出證明。

7．提出新的問題，引導學生從“等角對等邊”這個命題的反面思考問題，即思考它的逆命題是否成立。適時地引導學生思考可以用哪些方法證明？培養學生的推理能力。

8．歸納學生提出的各種證法，清楚的分析證明的思路，培養學生演繹證明的初步的推理能力。

9．啓發學生思考：在一個三角形中，如果兩個角不相等，那麼這兩個角所對的邊也不相等，這個結論是否成立？如果成立，能否證明。這實際上是“等邊對等角”的逆否命題，透過這樣的表述可以提高學生的思維能力。

10．總結這一證明方法，敘述並闡釋反證法的含義，讓學生了解。

11．小結這兩個課時的'內容。

作業：

同步練習

板書設計：

1．積極思考，回憶以前所學知識，聯想新問題。

2．認真觀看例1圖形中線段的關係，積極思考，認真聽講。

3．對於課件的演示很感興趣，憑直觀感覺可以猜測，不管k爲何值，BD=CE總成立。基於前面例題的啓發，想要給出證明。一部分學生可以自己給出證明，一部分學生需要老師的幫助。

4．在已經探究了角的大小的改變對於BD，CE的等長性沒有影響，有了一些成就感之後，又面臨新的任務：BD＝CE嗎？因此學生會滿懷熱情地進行這部分探究活動，而且有了前面的體驗，探究也會比較順利。

5．興致高漲，憑直覺猜測結論仍然成立。但有些學生給出全部證明可能會有困難。

6．認真聽講，在掌握結論的同時受到老師的鼓勵，有很高的熱情進行後續學習。

7．較少接觸這樣的命題，因此會感到新鮮，有用已知公理和定理對命題的真假性進行判斷的慾望。在老師指導下完成證明。

8，積極動腦思考，認真聽講，獲得對演繹證明的初步體會。

9．可以從直觀上得出結論，但是此處要求證明，體會到證明的必要性。遇到認知上的衝突，激起學習慾望。

10．懷有強烈的求知慾聽講，對反證法有了感性認識和一定的理解。

11．體會老師的講解，並根據小結記憶掌握知識。

（學生小結：掌握證明的基本步驟和書寫格式。經歷“探索－發現－猜想－證明”的過程。能夠用綜合法證明等腰三角形的兩條腰上的中線（高）、兩底角的平分線相等，並由特殊結論歸納出一般結論。等腰三角形的判定定理。瞭解反證法的推理方法。）

等腰三角形的性質定理和判定定理及其證明3

教學目標

1、瞭解作爲證明基礎的幾條公理的內容，掌握證明的基本步驟和書寫格式。

2、經歷“探索－發現－猜想－證明”的過程。能夠用綜合法證明等腰三角形的關性質定理和判定定理。

教學重點

瞭解作爲證明基礎的幾條公理的內容，掌握證明的基本步驟和書寫格式。

教學難點

能夠用綜合法證明等腰三角形的關性質定理和判定定理。

教學方法

觀察法

教學後記

教學內容及過程學生活動

一、複習：

1、什麼是等腰三角形？

2、你會畫一個等腰三角形嗎？並把你畫的等腰三角形栽剪下來。

3、試用摺紙的辦法回憶等腰三角形有哪些性質？

二、新課講解：

之前，我們已經證明了有關平行線的一些結論，運用下面的公理和已經證明的定理，我們還可以證明有關三角形的一些結論。

同學們和我一起來回憶上學期學過的公理：

1、兩直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那麼這兩條直線平行；

2、兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等；

3、兩邊夾角對應相等的兩個三角形全等；（SAS）

4、兩角及其夾邊對應相等的兩個三角形全等；（ASA）

5、三邊對應相等的兩個三角形全等；（SSS）

6、全等三角形的對應邊相等，對應角相等。

由公理5、3、4、6可容易證明下面的推論：

推論兩角及其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等。（AAS）

證明過程：

已知：∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF

求證：△ABC≌△DEF

證明：∵∠A=∠D，∠B=∠E（已知）

∵∠A+∠B+∠C=180°，∠D+∠E+∠F=180°（三角形內角和等於180°）

∠C=180°—（∠A+∠B）

∠F=180°—（∠D+∠E）

∠C=∠F（等量代換）

BC=EF（已知）

△ABC≌△DEF（ASA）

這個推論雖然簡單，但也應讓學生進行證明，以熟悉的基本要求和步驟，爲下面的推理證明做準備。

三、議一議：

（1）還記得我們探索過的等腰三角形的性質嗎？

（2）你能利用已有的公理和定理證明這些結論嗎？

等腰三角形（包括等邊三角形）的性質學生已經探索過，這裏先讓學生儘可能回憶出來，然後再考慮哪些能夠立即證明。

定理：等腰三角形的兩個底角相等。

這一定理可以簡單敘述爲：等邊對等角。

已知：如圖，在ABC中，AB＝AC。

求證：∠B＝∠C

證明：取BC的中點D，連接AD。

∵AB＝AC，BD＝CD，AD＝AD，

∴△ABC△≌△ACD（SSS）

∴∠B=∠C（全等三角形的對應邊角相等）

四、想一想：

在上圖中，線段AD還具有怎樣的性質？爲什麼？由此你能得到什麼結論？

應讓學生回顧前面的證明過程，思考線段AD具有的性質和特徵，從而得到結論，這一結合通常簡述爲“三線合一”。

推論等腰三角形的頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合。

五、隨堂練習：

做教科書習題第1，2題。

六、課堂小結：

透過本課的學習我們瞭解了作爲基礎的幾條公理的內容，掌握證明的基本步驟和書寫格式。經歷“探索－發現－猜想－證明”的過程。能夠用綜合法證明等腰三角形的關性質定理和判定定理。探體會了反證法的含義。

七、課外作業：

同步練習

板書設計：

這個推論雖然簡單，但也應讓學生進行證明，以熟悉的基本要求和步驟，爲下面的推理證明做準備。

學生充分討論問題1，藉助等腰三角形紙片回憶有關性質

讓學生儘可能回憶出來，然後再考慮哪些能夠立即證明

讓同學們透過探索、合作交流找出其他的證明方法

學生回顧前面的證明過程，思考線段AD具有的性質和特徵，討論圖中存在的相等的線段和相等的角，發現等腰三角形性質定理的推論，從而得到結論，這一結合通常簡述爲“三線合一”。