淺析相對差損失函數下的保費估計論文
1 模型的基本假設
大多數保費原理都具有正的安全負荷,常見的保費原理有期望值原理、指數保費原理、Esscher 保費原理、修正方差原理、條件尾期望保費原理、修正條件尾期望保費原理、Kamp 保費原理等。本文在相對差損失函數下得出了風險保費的信度估計和經驗Bayes 保費估計。
全文作如下假設,對隨機變量X 的函數求期望時,均假設該期望存在。
定義:對隨機變量X,若用a 來估計,損失函數爲:
L(X,a)=(1—aX)2 (*)
稱上式爲相對差損失函數。
定理1 若取損失函數(*),求解最優化問題
minP∈R E[L(X,P)]=minP∈R E(1—PX)2,
得到最優保費P= E(X—2)E(X—1)。
證記φ=E(1—PX)2,則墜φ墜P =2E (1—PX)(—1P X P ) ,
令墜φ墜P =0 得E(1X)=E( PX2 ),
於是P= E(X—2)E(X—1),即得證。
根據定理1 保證了風險隨機變量X 最佳的估計是在相對差損失函數下給出的最優保費P,我們通常稱此種保費爲聚合估計,記爲H(X),此保費是在相對差損失函數下得到的。
給定風險參數Θ 的條件下,作以下假定:
假定1 風險參數Θ 可以識別非負隨機變量X,並且π(θ)是風險參數Θ 的先驗分佈。
假定2 給定Θ=θ,隨機列X1,X2,…,Xn 是獨立的,與X 是同分布的,並且有同樣的分佈函數FX ( x,θ),記Xn=(X1,X2,…,Xn),表示到時刻n 爲止的索賠經歷。
2 風險保費的估計
定理2 如果已知風險參數Θ,那麼我們就能用一個函數P(θ)來預測Xn+1 (未來的索賠),在相對差損失函數(*)下,求解:
minP(θ)E[L(Xn+1,P(θ))|θ]=minP(θ)E[(1— P(θ)Xn+1)2|θ],得到P(θ)= E(X—2n+1)E(X—1n+1)。證記ψ=E[(1— P(θ)Xn+1)2|θ],則墜ψ墜P =E 2(1— P(θ)Xn+1)(—1Xn+1P )|θ P,令墜ψ墜P=0,定理即得證。
函數P(θ)通常叫做風險隨機變量X 的風險保費,在實際問題中因爲風險參數是未知的,所以保費P(θ)也是不知道的,因此可以透過樣本估計P(θ)。
當n=0 時,也就是索賠樣本沒有的情況下,這時的風險保費P(θ)我們可以透過一個實數P 來估計,要讓相對差損失函數(*)達到最小,也就是下面最優化的問題:
minP∈R E[L(P(θ),P)]=minP∈R E(1— P(θ)PP ) P 2 ,得到P= E[P—2(θ)]E[P—1(θ)]。透過觀察風險X 的'索賠樣本Xn,就需要根據樣本的一個函數來構造風險保費估計。記表示樣本Xn 所有的可測函數構成的一個集合,在這個集合中,我們考慮最小化的問題:
H1 ( Xn)= minH(Xn)∈E[L(P(θ),H(Xn))]= minH(Xn)∈E 1— H(Xn)θ P(θ) θ2 P P(1)
定理3 最優化(1)式,得到最優預測爲H1 ( Xn )= E[P—(1 θ)]E[P—(2 θ)],稱H1 ( Xn )爲相對差損失函數(*)下的Bayes 保費。
證由Bayes 定理可知,最優化(1)式只需在後驗分佈下達到最小,
記ψ=E 1— H(Xn)θ P(θ) θ2| Xn P P,
令墜ψ墜H=0,得到下面的正規方程:
E 2 1— H(Xn)θ P(θ) θ— 1θP(θ)θ| Xn P P=0,化簡後定理即得證。H1 ( Xn)是風險保費在相對差損失函數(*)下最優的估計,這裏我們稱之爲Bayes 估計。在一些分佈的假定下,Bayes 估計可以得到更加簡單的式子,但是一般來說Bayes 估計H1 ( Xn)的表達式都會複雜,甚至有些可能根本沒有顯示函數的形式。我們看下面的例子。
例設X1,X2,…,Xn,Xn+1 在風險參數Θ=θ 給定時爲獨立同分布的隨機變量,且Xi ~ U(1,θ),θ ~ U(2,3),則f(X| Θ)= 1θ—1,π(θ)=1,
那麼,風險保費爲
P(θ)= E[X—2| Θ]E[X—1| Θ] =θ1 乙x—2f(X|θ)dxθ1 乙x—1f(X|θ)dx= 1—θθlnθ,
而π(θ| Xn)=(1—n)(θ—1)—n2—n+1 ,
因此Bayes 估計爲H1 ( Xn)= E[P—(1 θ)]E[P—(2 θ)]= 2—n+1(1—n)32 乙(θ—1)—n+1θlnθdθ。
3 結論
本文研究了相對差保費原理下風險保費的信度估計問題。 利用了損失函數法, 將相對差保費原理定義爲相對差損失函數下風險的最優估計。 利用保費計算原理,引入相對差損失函數得到了下一期的信度保費計算公式,從而得出Bayes 保費。
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