立體幾何測試題
1.∥,a,b與,都垂直,則a,b的關係是
A.平行 B.相交 C.異面 D.平行、相交、異面都有可能
2.異面直線a,b,a⊥b,c與a成300,則c與b成角範圍是
A.[600,900] B.[300,900] C.[600,1200] D.[300,1200]
3.正方體AC1中,E、F分別是AB、BB1的中點,則A1E與C1F所成的角的餘弦值是
A. B. C. D.
4.在正△ABC中,AD⊥BC於D,沿AD折成二面角B—AD—C後,BC=AB,這時二面角B—AD—C大小爲
A.600 B.900 C.450 D.1200
5.一個山坡面與水平面成600的二面角,坡腳的水平線(即二面角的棱)爲AB,甲沿山坡自P朝垂直於AB的方向走30m,同時乙沿水平面自Q朝垂直於AB的方向走30m,P、Q都是AB上的點,若PQ=10m,這時甲、乙2個人之間的距離爲
A. B. C. D.
6.E、F分別是正方形ABCD的邊AB和CD的中點,EF交BD於O,以EF爲棱將正方形
折成直二面角如圖,則∠BOD=
A.1350 B.1200 C.1500 D.900
7.三棱錐V—ABC中,VA=BC,VB=AC,VC=AB,側面與底面ABC所成的二面角分別爲α,β,γ(都是銳角),則cosα+cosβ+cosγ等於
A.1 B.2 C. D.
8.正n棱錐側棱與底面所成的角爲α,側面與底面所成的角爲β,tanα∶tanβ等於
A. B. C. D.
9.一個簡單多面體的各面都是三角形,且有6個頂點,則這個簡單多面體的面數是
A.4 B.6 C.8 D.10
10.三棱錐P—ABC中,3條側棱兩兩垂直,PA=a,PB=b,PC=c,△ABC的面積爲S,則P到平面ABC的距離爲
A. B. C. D.
11.三棱柱ABC—A1B1C1的體積爲V,P、Q分別爲AA1、CC1上的點,且滿足AP=C1Q,則四棱錐B—APQC的體積是
A. B. C. D.
12.多面體ABCDEF中,已知面ABCD是邊長爲3的正方形,EF∥AB,EF=,EF與面AC的距離爲2,則該多面體的體積爲
A. B.5 C.6 D.
13.已知異面直線a與b所成的角是500,空間有一定點P,則過點P與a,b所成的角都是300的直線有________條.
14.線段AB的端點到平面α的`距離分別爲6cm和2cm,AB在α上的射影A’B’的長爲3cm,則線段AB的長爲__________.
15.正n棱錐相鄰兩個側面所成二面角的取值範圍是____________.
16.如果一個簡單多面體的每個面都是奇數的多邊形,那麼它的面數是__________.
17.在正方體ABCD—A1B1C1D1中,E、F、G、H分別爲棱BC、CC1、C1D1、AA1的中點,O爲AC與BD的交點.
求證:(1)EG∥平面BB1D1D;(2)平面BDF∥平面B1D1H;(3)A1O⊥平面BDF;(4)平面BDF⊥平面AA1C.
18.如圖,三棱錐D—ABC中,平面ABD、平面ABC均爲等腰直角三角形,
∠ABC=∠BAD=900,其腰BC=a,且二面角D—AB—C=600.
⑴求異面直線DA與BC所成的角;⑵求異面直線BD與AC所成的角;
⑶求D到BC的距離; ⑷求異面直線BD與AC的距離.
19.如圖,在600的二面角α—CD—β中,ACα,BDβ,且ACD=450,tg∠BDC=2,CD=a,AC=x,BD=x,當x爲何值時,A、B的距離最小?並求此距離.
20.如圖,斜三棱柱ABC—A’B’C’中,底面是邊長爲a的正三角形,側棱長爲 b,側棱AA’與底面相鄰兩邊AB、AC都成450角,求此三棱柱的側面積和體積.
參考答案:
1.D; 2.A; 3.C; 4.A; 5.B; 6.B; 7.A; 8.B; 9.C; 10.B; 11.B; 12.D; 13.2; 14. 5或; 15. (); 16. 偶數;
17. 解析:
⑴欲證EG∥平面BB1D1D,須在平面BB1D1D內找一條與EG平行的直線,構造輔助平面BEGO’及輔助直線BO’,顯然BO’即是。
⑵按線線平行線面平行面面平行的思路,在平面B1D1H內尋找B1D1和O’H兩條關鍵的相交直線,轉化爲證明:B1D1∥平面BDF,O’H∥平面BDF
⑶A1O⊥平面BDF,由三垂線定理,易得BD⊥A1O,再尋A1O垂直於平面BDF內的另一條直線。猜想A1O⊥OF。藉助於正方體棱長及有關線段的關係計算得:A1O2+OF2=A1F2A1O⊥OF。
⑷∵ CC1⊥平面AC∴ CC1⊥BD 又BD⊥AC∴ BD⊥平面AA1C 又BD平面BDF
∴ 平面BDF⊥平面AA1C
18. 解析:
在平面ABC內作AE∥BC,從而得∠DAE=600
∴ DA與BC成600角
過B作BF∥AC,交EA延長線於F,則∠DBF爲BD與AC所成的角
由△DAF易得AF=a,DA=a,∠DAF=1200∴ DF2=a2+a2-2a2·()=3a2 ∴ DF=a
DBF中,BF=AC=a∴ cos∠DBF=∴ 異面直線BD與AC成角arccos
(3)∵ BA⊥平面ADE∴ 平面DAE⊥平面ABC
故取AE中點M,則有DM⊥平面ABC;取BC中點N,由MN⊥BC,根據三垂線定理,DN⊥BC
∴ DN是D到BC的距離 在△DMN中,DM=a,MN=a∴ DN=a
(4)∵ BF平面BDF,AC平面BDF,AC∥BF∴ AC∥平面BDF 又BD平面BDF
∴ AC與BD的距離即AC到平面BDF的距離∵ ,
由,即異面直線BD與AC的距離爲.
19. 解析:作AE⊥CD於E,BF⊥CD於F,則EF爲異面直線AE、BF的公垂段,AE與BF成600角,可求得|AB|=,當x=時,|AB|有最小值.
20. 解析:在側面AB’內作BD⊥AA’於D 連結CD
∵ AC=AB,AD=AD,∠DAB=∠DAC=450 ∴ △DAB≌△DAC ∴ ∠CDA=∠BDA=900,BD=CD
∴ BD⊥AA’,CD⊥AA’∴ △DBC是斜三棱柱的直截面
在Rt△ADB中,BD=AB·sin450=
∴ △DBC的周長=BD+CD+BC=(+1)a,△DBC的面積=
∴ S側=b(BD+DC+BC)=(+1)ab ∴ V=·AA’=
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