立體幾何專項複習題目及答案

習題課

【課時目標】 1．能熟練應用直線、平面平行與垂直的判定及性質進行有關的證明．2．進一步體會化歸思想在證明中的應用．

a、b、c表示直線，α、β、γ表示平面．

位置

關係判定定理

(符號語言)性質定理

(符號語言)

直線與平面平行a∥b且__________?a∥αa∥α，________________?a∥b

平面與平面平行a∥α，b∥α，且________________?α∥βα∥β，________________?a∥b

直線與平面垂直l⊥a，l⊥b，且____________?l⊥αa⊥α，b⊥α?____

平面與平面垂直a⊥α，____?α⊥βα⊥β，α∩β＝a，

__________?b⊥β

一、填空題

1．不同直線m、n和不同平面α、β．給出下列命題：

①α∥βm?α?m∥β； ②m∥nm∥β?n∥β；

③m?αn?β?m，n異面； ④α⊥βm∥α?m⊥β．

其中假命題的個數爲________．

2．下列命題中：(1)平行於同一直線的兩個平面平行；(2)平行於同一平面的兩個平面平行；(3)垂直於同一直線的兩直線平行；(4)垂直於同一平面的兩直線平行．其中正確命題的爲________．

3．若a、b表示直線，α表示平面，下列命題中正確的有________個．

①a⊥α，b∥α?a⊥b；②a⊥α，a⊥b?b∥α；③a∥α，a⊥b?b⊥α．

4．過平面外一點P：①存在無數條直線與平面α平行；②存在無數條直線與平面α垂直；③有且只有一條直線與平面α平行；④有且只有一條直線與平面α垂直，其中真命題的個數是________．

5．如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1中，點P在側面BCC1B1及其邊界上運動，並且總是保持AP⊥BD1，則動點P的軌跡是________．

6．設a，b爲兩條直線，α，β爲兩個平面，下列四個命題中，正確的命題是________．

①若a，b與α所成的角相等，則a∥b；

②若a∥α，b∥β，α∥β，則a∥b；

③若a?α，b?β，a∥b，則α∥β；

④若a⊥α，b⊥β，α⊥β，則a⊥b．

7．三棱錐D－ABC的三個側面分別與底面全等，且AB＝AC＝3，BC＝2，則二面角A－BC－D的大小爲______．

8．如果一條直線與一個平面垂直，那麼，稱此直線與平面構成一個“正交線面對”，在一個正方體中，由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構成的“正交線面對”的個數是________．

9．如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，P爲BD1的中點，則△PAC在該正方體各個面上的射影可能是________．(填序號)

二、解答題

10．如圖所示，△ABC爲正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中點，求證：

(1)DE＝DA；

(2)平面BDM⊥平面ECA；

(3)平面DEA⊥平面ECA．

11．如圖，棱柱ABC－A1B1C1的側面BCC1B1是菱形，B1C⊥A1B．

(1)證明：平面AB1C⊥平面A1BC1；

(2)設D是A1C1上的點且A1B∥平面B1CD，求A1DDC1的值．

能力提升

12．四棱錐P—ABCD的頂點P在底面ABCD中的投影恰好是A，其三視圖如圖：

(1)根據圖中的資訊，在四棱錐P—ABCD的側面、底面和棱中，請把符合要求的結論填寫在空格處(每空只要求填一種)：

①一對互相垂直的異面直線________；

②一對互相垂直的平面________；

③一對互相垂直的直線和平面________；

(2)四棱錐P—ABCD的表面積爲________．(棱錐的表面積等於棱錐各面的面積之和)

13．如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是正方形，AB＝2EF，EF∥AB，EF⊥FB，BF＝FC，H爲BC的中點．

(1)求證：FH∥平面EDB；

(2)求證：AC⊥平面EDB．

轉化思想是證明線面平行與垂直的主要思路，其關係爲

即利用線線平行(垂直)，證明線面平行(垂直)或證明面面平行(垂直)；反過來，又利用面面平行(垂直)，證明線面平行(垂直)或證明線線平行(垂直)，甚至平行與垂直之間的轉化．這樣，來來往往，就如同運用“四渡赤水”的戰略戰術，達到了出奇制勝的目的．

習題課 答案

知識梳理

位置

關係判定定理

(符號語言)性質定理

(符號語言)

直線與平面平行a∥b且a?α，b?α?a∥αa∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b

平面與平面平行a∥α，b∥α，且a?β，b?β，a∩b＝P?α∥βα∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b

直線與平面垂直l⊥a，l⊥b，且a?α，b?α，a∩b＝P?l⊥αa⊥α，b⊥α?a∥b

平面與平面垂直a⊥α，a?β?α⊥βα⊥β，α∩β＝a，b⊥a，b?α?b⊥β

作業設計

1．3

解析 命題①正確，面面平行的性質；命題②不正確，也可能n?β；命題③不正確，如果m、n有一條是α、β的交線，則m、n共面；命題④不正確，m與β的.關係不確定．

2．2

解析 (2)和(4)對．

3．1

解析 ①正確．

4．2

解析 ①④正確．

5．線段B1C

解析 連結AC，AB1，B1C，

∵BD⊥AC，AC⊥DD1，

BD∩DD1＝D，

∴AC⊥面BDD1，

∴AC⊥BD1，

同理可證BD1⊥B1C，

∴BD1⊥面AB1C．

∴P∈B1C時，始終AP⊥BD1．

6．④

7．90°

解析

由題意畫出圖形，數據如圖，取BC的中點E，

連結AE、DE，易知∠AED爲二面角A—BC—D的平面角．

可求得AE＝DE＝2，由此得AE2＋DE2＝AD2．

故∠AED＝90°．

8．36

解析 正方體的一條棱長對應着2個“正交線面對”，12條棱長共對應着24個“正交線面對”；正方體的一條面對角線對應着1個“正交線面對”，12條面對角線對應着12個“正交線面對”，共有36個．

9．①④

10．證明 (1)如圖所示，

取EC的中點F，連結DF，∵EC⊥平面ABC，

∴EC⊥BC，又由已知得DF∥BC，

∴DF⊥EC．

在Rt△EFD和Rt△DBA中，

∵EF＝12EC＝BD，

FD＝BC＝AB，

∴Rt△EFD≌Rt△DBA，

故ED＝DA．

(2)取CA的中點N，連結MN、BN，

則MN?12EC，

∴MN∥BD，∴N在平面BDM內，

∵EC⊥平面ABC，∴EC⊥BN．又CA⊥BN，

∴BN⊥平面ECA，BN?平面MNBD，

∴平面MNBD⊥平面ECA．

即平面BDM⊥平面ECA．

(3)∵BD?12EC，MN?12EC，

∴BD?MN，

∴MNBD爲平行四邊形，

∴DM∥BN，∵BN⊥平面ECA，

∴DM⊥平面ECA，又DM?平面DEA，

∴平面DEA⊥平面ECA．

11．(1)證明 因爲側面BCC1B1是菱形，

所以B1C⊥BC1．

又B1C⊥A1B，

且A1B∩BC1＝B，

所以B1C⊥平面A1BC1．

又B1C?平面AB1C，

所以平面AB1C⊥平面A1BC1．

(2)解 設BC1交B1C於點E，連結DE，則DE是平面A1BC1與平面B1CD的交線．

因爲A1B∥平面B1CD，所以A1B∥DE．

又E是BC1的中點，所以D爲A1C1的中點，

即A1DDC1＝1．

12．(1)①PA⊥BC(或PA⊥CD或AB⊥PD)

②平面PAB⊥平面ABCD(或平面PAD⊥平面ABCD或平面PAB⊥平面PAD或平面PCD⊥平面PAD或平面PBC⊥平面PAB)

③PA⊥平面ABCD(或AB⊥平面PAD或CD⊥平面PAD或AD⊥平面PAB或BC⊥平面PAB)

(2)2a2＋2a2

解析 (2)依題意：正方形的面積是a2，

S△PAB＝S△PAD＝12a2．

又PB＝PD＝2a，∴S△PBC＝S△PCD＝22a2．

所以四棱錐P—ABCD的表面積是

S＝2a2＋2a2．

13．

(1)證明 如圖，設AC與BD交於點G，則G爲AC的中點．連結EG，GH，由於H爲BC的中點，

故GH?12AB．

又EF?12AB，∴EF?GH．

∴四邊形EFHG爲平行四邊形．

∴EG∥FH．

而EG?平面EDB，FH?平面EDB，

∴FH∥平面EDB．

(2)證明 由四邊形ABCD爲正方形，

得AB⊥BC．

又EF∥AB，∴EF⊥BC．

而EF⊥FB，∴EF⊥平面BFC．

∴EF⊥FH．

∴AB⊥FH．

又BF＝FC，H爲BC的中點，∴FH⊥BC．

∴FH⊥平面ABCD．∴FH⊥AC．

又FH∥EG，∴AC⊥EG．

又AC⊥BD，EG∩BD＝G，

∴AC⊥平面EDB．