八年級數學教學設計
教學目標
1.使學生會分析和判斷一個多項式是否爲完全平方式,初步掌握運用完全平方式把多項式分解因式的方法;
3.進一步培養學生全面地觀察問題、分析問題和逆向思維的能力.
4.透過運用公式法分解因式的教學,使學生進一步體會“把一個代數式看作一個字母”的換元思想。
教學重點和難點
重點:運用完全平方式分解因式.
難點:靈活運用完全平方公式公解因式.
教學過程設計
一、複習
1.問:什麼叫把一個多項式因式分解?我們已經學習了哪些因式分解的方法?
答:把一個多項式化成幾個整式乘積形式,叫做把這個多項式因式分解.我們學過的因式分解的方法有提取公因式法及運用平方差公式法.
2.把下列各式分解因式:
(1)ax4-ax2 (2)16m4-n4.
解 (1) ax4-ax2=ax2(x2-1)=ax2(x+1)(x-1)
(2) 16m4-n4=(4m2)2-(n2)2
=(4m2+n2)(4m2-n2)
=(4m2+n2)(2m+n)(2m-n).
問:我們學過的乘法公式除了平方差公式之外,還有哪些公式?
答:有完全平方公式.
請寫出完全平方公式.
完全平方公式是:
(a+b)2=a2+2ab+b2, (a-b)2=a2-2ab+b2.
這節課我們就來討論如何運用完全平方公式把多項式因式分解.
二、新課
和討論運用平方差公式把多項式因式分解的思路一樣,把完全平方公式反過來,就得到
a2+2ab+b2=(a+b)2; a2-2ab+b2=(a-b)2.
這就是說,兩個數的平方和,加上(或者減去)這兩個數的積的2倍,等於這兩個數的和(或者差)的平方.式子a2+2ab+b2及a2-2ab+b2叫做完全平方式,上面的兩個公式就是完全平方公式.運用這兩個式子,可以把形式是完全平方式的多項式分解因式.
問:具備什麼特徵的多項是完全平方式?
答:一個多項式如果是由三部分組成,其中的兩部分是兩個式子(或數)的平方,並且這兩部分的符號都是正號,第三部分是上面兩個式子(或數)的乘積的二倍,符號可正可負,像這樣的式子就是完全平方式.
問:下列多項式是否爲完全平方式?爲什麼?
(1)x2+6x+9; (2)x2+xy+y2;
(3)25x4-10x2+1; (4)16a2+1.
答:(1)式是完全平方式.因爲x2與9分別是x的平方與3的平方,6x=2·x·3,所以
x2+6x+9=(x+3) .
(2)不是完全平方式.因爲第三部分必須是2xy.
(3)是完全平方式.25x =(5x ) ,1=1 ,10x =2·5x ·1,所以
25x -10x +1=(5x-1) .
(4)不是完全平方式.因爲缺第三部分.
請同學們用箭頭表示完全平方公式中的a,b與多項式9x2+6xy+y2中的對應項,其中a=?b=?2ab=?
答:完全平方公式爲:
其中a=3x,b=y,2ab=2·(3x)·y.
例1 把25x4+10x2+1分解因式.
分析:這個多項式是由三部分組成,第一項“25x4”是(5x2)的平方,第三項“1”是1的平方,第二項“10x2”是5x2與1的積的2倍.所以多項式25x4+10x2+1是完全平方式,可以運用完全平方公式分解因式.
解25x4+10x2+1=(5x2)2+2·5x2·1+12=(5x2+1)2.
例2把1- m+ 分解因式.
問:請同學分析這個多項式的特點,是否可以用完全平方公式分解因式?有幾種解法?
答:這個多項式由三部分組成,第一項“1”是1的`平方,第三項“ ”是 的平方,第二項“- m”是1與m/4的積的2倍的相反數,因此這個多項式是完全平方式,可以用完全平方公式分解因式.
解法1 1- m+ =1-2·1· +( )2=(1- )2.
解法2 先提出 ,則
1- m+ = (16-8m+m2)
= (42-2·4·m+m2)
= (4-m)2.
三、課堂練習(投影)
1.填空:
(1)x2-10x+()2=()2;
(2)9x2+()+4y2=()2;
(3)1-()+m2/9=()2.
2.下列各多項式是不是完全平方式?如果是,可以分解成什麼式子?如果不是,請把多
項式改變爲完全平方式.
(1)x2-2x+4;(2)9x2+4x+1;(3)a2-4ab+4b2;
(4)9m2+12m+4; (5)1-a+a2/4.
3.把下列各式分解因式:
(1)a2-24a+144;(2)4a2b2+4ab+1;
(3)19x2+2xy+9y2; (4)14a2-ab+b2.
答案:
1.(1)25,(x-5) 2;(2)12xy,(3x+2y) 2;(3)2m/3,(1-m3)2.
2.(1)不是完全平方式,如果把第二項的“-2x”改爲“-4x”,原式就變爲x2-4x+4,它是完全平方式;或把第三項的“4”改爲1,原式就變爲x2-2x+1,它是完全平方式.
(2)不是完全平方式,如果把第二項“4x”改爲“6x”,原式變爲9x2+6x+1,它是完全平方式.
(3)是完全平方式,a2-4ab+4b2=(a-2b)2.
(4)是完全平方式,9m2+12m+4=(3m+2) 2.
(5)是完全平方式,1-a+a2/4=(1-a2)2.
3.(1)(a-12) 2;(2)(2ab+1) 2;
(3)(13x+3y) 2;(4)(12a-b)2.
四、小結
運用完全平方公式把一個多項式分解因式的主要思路與方法是:
1.首先要觀察、分析和判斷所給出的多項式是否爲一個完全平方式,如果這個多項式是一個完全平方式,再運用完全平方公式把它進行因式分解.有時需要先把多項式經過適當變形,得到一個完全平方式,然後再把它因式分解.
2.在選用完全平方公式時,關鍵是看多項式中的第二項的符號,如果是正號,則用公式a2+2ab+b2=(a+b) 2;如果是負號,則用公式a2-2ab+b2=(a-b) 2.
五、作業
把下列各式分解因式:
1.(1)a2+8a+16;(2)1-4t+4t2;
(3)m2-14m+49; (4)y2+y+1/4.
2.(1)25m2-80m+64; (2)4a2+36a+81;
(3)4p2-20pq+25q2; (4)16-8xy+x2y2;
(5)a2b2-4ab+4; (6)25a4-40a2b2+16b4.
3.(1)m2n-2mn+1; (2)7am+1-14am+7am-1;
4.(1) x -4x; (2)a5+a4+ a3.
答案:
1.(1)(a+4)2; (2)(1-2t)2;
(3)(m-7) 2; (4)(y+12)2.
2.(1)(5m-8) 2; (2)(2a+9) 2;
(3)(2p-5q) 2;(4)(4-xy) 2;
(5)(ab-2) 2; (6)(5a2-4b2) 2.
3.(1)(mn-1) 2
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