試論數學教學設計理念的更新策略

數學教學的成功與否與數學教學設計的優劣密切相關,數學教學設計則往往取決於數學教學理念,數學教學理念是數學教學設計的“導航儀”.時下,新的課程改革也在不斷影響着人們的教學理念,尤其是教師的數學觀、數學學習觀、數學教學觀.我國學生的數學基礎紮實有餘卻創造力不足——張奠宙老師稱之爲“花崗岩的基礎上蓋茅草房”[1]的現象着實讓所有的數學教育工作者擔心,我們出於研究教學設計的需要,查閱了不少中學數學教學設計,發現一些老師的教學設計往往被應試教育這一“緊箍咒”束縛,一定程度上影響了他們的教學理念.限於篇幅,我們僅例舉部分中學數學教學設計中所反映出來的教學理念並提出我們的一些想法.

一、結論與過程的傾斜

“重結論,輕過程”似乎成爲人們對知識教學進行批評的常用詞,我們在不少的場合及雜誌上遇到過,甚至出現了有些極端的口號:“知識僅爲思維的載體,知識不重要,重要的在於過程.”仔細思考一下,發現問題並非那麼簡單.教師在教學設計時,對數學過程及結論是需要一個抉擇的,裏面也充滿着設計者的智慧!

案例1 立方體表面展開圖的教學設計

我們查閱了不少的資料,也聽過一些老師的課.發現一些老師在立方體表面展開圖的教學設計中,把立方體展開圖各種可能的情況都羅列出來,然後讓學生觀察展開圖的規律,最後用一句口訣:“‘一四一’‘一三二’,‘一’在同層可任意;‘三個二’,成階梯,‘二個三’,‘日’狀連;整體無‘田’.”來概括,並且要求學生記住.我們想:“觀察立方體的表面展開圖並下結論無可厚非,記住就免了!”理由有兩個:一是學生即使記不住,看到展開圖想象一下就可以了;二是試題是多變的,假如考到一個無蓋的立方體展開圖,一些靠死記硬背的學生恐怕就“沒轍”了!

其實,在數學教學過程中,數學結論與過程的抉擇有四種:一是數學結論與過程並重,例如圓周角定理,它的發現與結論都很重要;二是知識產生的過程相對不重要但知識本身作爲結論的作用則要重要一些.例如,有些數學名詞的由來,一些教師即使不清楚也不太會影響教學.另外,有些數學知識形成過程非常複雜,超越學生的能力,暫時不讓學生知道其形成過程是完全可以的,也是教學的一種策略.例如,爲什麼是無理數?圓錐側面爲什麼可以展開成平面圖形而球面則不可以?等等.三是知識產生的過程重要但知識本身作爲結論的作用則相對不重要.中學生所做的練習(包括證明題)大部分都是爲鞏固知識、訓練技能、培養能力服務的,教師教學設計關注的應該是其過程,而對這些習題(本身也是知識)的結論關注度就要相對弱些,除非某些習題的結論具有“特殊的用途”.四是知識產生的過程和知識本身作爲結論的作用都相對不重要.陳省身先生在回答樑東元的提問時說:“舉個例子,大家也許知道有個拿破崙定理,據說這個定理和拿破崙有點關係,它的意思是說,任何一個三角形,各邊上各作等邊三角形,接下來將這三個三角形的重心聯結起來,那麼就必定是一個等邊的三角形,各邊上的等邊三角形也可以朝裏面作,於是可以得到兩個解.像這樣的數學,就不是好的數學,爲什麼?因爲它難以有進一步的發展.”[2]我們認爲,凡是數學都需要“人在動腦筋”,都具有“訓練思維的作用”,但對學生而言,應該讓他們學習一些對培養他們的思維和能力具有很強遷移效果且結論對後續知識及現實實際都有重大作用的數學:(1)結論並不重要的數學知識對以後學習起不了多少平臺作用,就像陳省身所說的,“難以有進一步的發展.”記住反而加重記憶負擔;(2)過程不重要,有些甚至使學生對數學產生誤解.例如,觀察數列的前五項,寫出這個數列的第六項:61,52,63,94,46,答案是18.理由是把這個數列的每一項數碼的個位數與十位數對調:16,25,36,49,64,按照這個規律,接下去是81,然後調換個位數與十位數,即得答案.按照現在時髦的語言,這是“腦筋急轉彎”!我們認爲,這種“整人的數學”還是少出現爲妙!這種數學或許可以作爲一種“茶餘飯後”的“遊戲數學”但不能成爲數學教學的主角.

二、宏觀與微觀的協調

在閱讀一些教學設計時,我們發現“宏觀思維”的培養設計存在明顯的不足,往往讓學生在學習數學上出現只見樹木不見森林的結局.我們經常在聽完一些老師的授課後,詢問學生:“爲什麼要學習本節課的內容?”非常遺憾:經常出現絕大多數學生回答不出來的尷尬局面!得到的答案要麼是“課本里有!”“老師叫學就學!”“考試有用!”等,或者乾脆就搖搖頭:“不知道!”

案例2 整式的教學設計

新課程改革的一個很大的特點就是教材中的每一章甚至每一節中都有一個導言,而有些老師往往“性子急”,對這個導言(這個導言其實往往是從宏觀思維到微觀思維的引導)經常視而不見,起始就把學生往細節上引導.這種做法對學生宏觀的思維培養很不利,而宏觀把握是一個人聰明才智的一個很重要特徵,忽視不得!

三、感性與理性的抉擇

數學教學講究理性,但不否認感性,尤其是數學靈感.靈感在數學發現中所起的作用我們不再細述,數學史上很多重大發現與靈感有着千絲萬縷的關係,而數學靈感的培養純粹靠數學推理的訓練來達到目的恐怕少有人贊同.新課程強調數學直覺思維的培養,爲此,針對中學數學的教學內容,教師必須對感性與理性的培養設計有一個清醒的認識和合理的安排.

案例3 勾股定理的教學設計

勾股定理的教學設計一直是我們數學教師喜歡討論的重要課題,我們也閱讀了不少關於勾股定理的教學設計,發現不少老師是先創設一個關於直角三角形三邊長的問題情境(比如:一棵樹半腰處被雷劈折但未完全斷開,樹尖觸地,留餘部分長爲4米,被劈折部分長5米,樹尖觸地點距樹根部恰好是3米),要求學生算這三邊的平方(或者算以這三邊分別爲三個正方形邊長的三個正方形面積),並問它們之間有什麼關係(有的老師甚至要求學生把兩條直角邊的平方和算出來並和斜邊的平方進行比較),以期引導學生自己發現勾股定理.這種煞費苦心的設計似乎想培養學生的運算、推理及發現的能力,但我們認爲這是對數學靈感的“不尊”,也對學生的發現能力培養起不到多少作用.因爲沒有教師的引導,學生根本想不到去關注直角三角形三邊的平方關係.在查閱一些教學設計中,我們隱約感覺到目前似乎存在這樣的一種認識:數學發現都是有章可循的.其實,關於數學靈感還有很多方面我們目前仍無法解釋.我們大家應該有這樣的一種體會:一些問題當我們自己解決後,人家問我們是如何找到解決方案的,我們自己可能也講不清楚,因爲它是屬於“靈光一現的產物”.試想,一些前人都講不清楚自己是如何發現的東西,在後人的教育中似乎一切都順理成章,這是否是教育成功的表現?

我們認爲,數學學科的教學設計有時應該向語文、歷史等學科學習,語文老師絕對不會把李白的詩詞“剖析”得似乎是很自然、應該寫得出的事情,而是和學生一起欣賞李白的詩詞,努力帶領學生去體會李白當時醉酒寫詩的意境,邊欣賞邊引導學生反思和感悟如何寫好一首詩,因爲語文老師深知李白自己可能也不知道自己在幾乎醉酒狀態下是如何寫出這些流傳千古的詩詞.受此啓發,我們覺得,數學中有很多發現及採取構造性證明的數學問題(很多數學名題正是因爲它很難發現或很難證明而出名的,如勾股定理、韋達定理、多面體的歐拉公式等)的教學策略,應該與語文、歷史等學科一樣引導學生欣賞的同時,讓學生帶着仰慕的心情在欣賞前人勤勞和聰明才智的同時鼓勵學生積極反思.

勾股定理的'教學真正是集靈感欣賞與邏輯推理的“一道數學文化教育的大餐”:從設計一定邏輯關聯(也是教育學生研究問題的科學方法)開始,提出即將要研究的問題,從對前人勞動的欣賞到引導學生進行猜測與反思,無不顯示着教學設計者的數學教育觀念和聰明才智.也有學者透過文化視角審視勾股定理的設計[3],讓我們耳目一新,值得我們借鑑.

四、發現與技能的博弈

“發現”與“技能”似乎不是在“同一個範疇”上的用詞,但在課堂教學中,它們往往存在着時間上的“博弈”.荷蘭數學家和數學教育家弗賴登塔爾提倡“再創造教學”,指出我們數學教學應該像數學家發現數學一樣讓學生經歷這一發現過程,但在有限的教學時間內,到底是需要讓學生經歷這一發現過程還是騰出更多的時間讓學生訓練數學技能?這往往是我們教師在教學設計上不得不考慮的一個問題.

案例4 圓周角定理的教學設計

“圓周角定理”的教學被一些老師稱爲“數學教學的一道大餐”,因爲它涵蓋了數學發現、數學技能形成的“整個過程”,這道“大餐”往往被要求“在一節課內完成”,這堂課有兩個難點:一是圓周角定理的發現;二是圓周角定理的證明.這兩個環節都需要相當時間和一定的教學技巧.這迫使一些老師進行抉擇:到底哪個更重要?從理論上講,發現一個問題比解決一個問題更重要,一個人若發現能力得到加強,那他將終生受用,但是,數學技能的形成卻是眼前的需要,甚至是急需.或許有人會說:“這兩者不一定是矛盾的雙方.”我們也無意讓這兩者成爲“對立派”,但在有限的教學時間內,不同的教師由於觀念的差異往往在時間的分配上會有所博弈.有的老師就乾脆先給出圓周角的概念,然後用幾何畫板邊演示邊問學生:“圓周角的頂點在圓周上移動的時候,圓周角大小有什麼變化?”得到的答案自然是“沒有變化!”甚至是“等於同弧所對的圓心角的一半.”我們認爲,這種設計表面上也有“發現”過程的設計,而且“很順”,節省了時間!其實,這無助於學生髮現問題能力的提高!

假如我們肯在培養學生髮現數學問題能力上花時間,或許這樣的設計思路可以一試:教師先在引導學生回顧圓心角的概念後,問:“假如我們把圓心角的頂點移動,角度大小是否會發生變化?”當得到學生的肯定回答後,教師順勢引導:“我們能否把這些角分分類?”在學生得出“依據頂點在圓內、圓上、圓外進行分類”的時候,教師繼續追問:“它們各自的變化範圍是什麼?”顯然,圓周角定理這一美妙的結果自然吸引了學生的眼球!這裏還自然引發了幾個副產品:“圓內角、圓外角能否可以繼續研究?它們能否與所‘截’的兩弧的度數有關?”“當我們移動圓心角頂點的時候,這樣的角不能稱圓心角了,但它的大小是否一定會發生變化?不會發生變化的點的軌跡是什麼?”儘管這種設計也有教師的“引導因素”,但,這種設計無疑讓學生領悟到一些數學發現的“再創造過程”.

假如,我們用再創造的眼光來審視我們的教學設計,會發現一些過程“很需要時間”.在我國,更多的教師願意在數學技能形成中花時間,而對數學發現的“再創造過程”在“博弈”中處於時間劣勢.我們認爲,重視數學技能的形成無可厚非,但有時我們對數學發現的“再創造過程”可以在“設計”上動一些腦筋,比如:採取督促反思的手段就是一個不錯的選擇,即在課堂小結的時候,可以佈置思考題:“同學們,你們知道我們今天爲什麼對圓周角感興趣嗎?猜猜看,人類是怎麼發現圓周角定理的?請查閱相關資料,下節課談一下你的猜想和認識.”

以上是我們在閱讀一些中學教學設計的時候所產生的一些想法.其實,教師的教學觀念與教師對數學及數學教學的眼界及境界密切相關.加強專業學習,提高數學修養是正確教學觀念形成的重要一環,或許,本文只是我們眼界不高的“陋想”,至於在具體教學過程中如何操作,期待更多的討論。