激活思維的教案

----數學習題課“一題多問”“一題多變”教學案例與評析

數學習題課對所學過的知識能夠起到檢查、鞏固、提高、拓展的功效，在進行概念教學的過程中，應當適當安排一些習題課。然而，習題課的選題，容量怎樣安排才合理，效益如何提高，如何培養學生的良好思維品質？我一直在思考、在嘗試。我認爲習題課絕不是簡單的習題介紹，也絕不是教輔資料的處理之需，我覺得習題課題目的選擇和教學安排應該遵循兩個原則：一是整理知識，整頓習慣，整合思維的原則；一是引導思考，自主探究，激活思維的原則。高二這段時間進行橢圓單元的教學，在習題課上，我備課時，首先確定好這一節課的目標以及每個選題的目標，然後圍繞這一目標進行廣泛閱讀、篩選、重組，儘量編成“一題多問”、“一題多變”的題目，這樣，教學容量、效益有了很大提高。以下是本人高二橢圓單元教學習題課設定的“一題多問”、“一題多變”教學案例。

【教學案例一】

○教學背景：橢圓標準方程及簡單的幾何性質上完後，爲了使學生掌握標準方程及相關的量，我安排了習題課，編成“一題多問”的題。

教學目標：

1）加強學生對橢圓方程的認識，鞏固有關概念、性質。

2）能夠根據橢圓的簡單幾何性質求橢圓的標準方程。

問題設定：例1：已知橢圓方程，回答下列問題：

（1）出該橢圓的長軸、短軸長，焦距，離心率

（2）寫出該橢圓的頂點、焦點座標，準線方程

（3）作出該橢圓的圖形。

教學要求：

1）三位同學板演。

2）把1、2中涉及到的量在圖中標出。

3）體會橢圓中的.量與焦點的位置關係。

教學意圖：1）檢查、鞏固，2）數形結合，3）引導學生比較、思考

○教學背景：根據性質求橢圓方程，能夠強化對橢圓的幾何性質認識，這是教學的重點。

教學目標：鞏固橢圓的性質，熟練掌握求橢圓方程的方法和注意四項。

問題設定：例2.根據條件,寫出對稱軸在座標軸上的橢圓的標準方程：

(1)過點P(3,0),且長軸長是短軸長的三倍的橢圓。

(2)以直線3x+4y－12=0和兩軸的交點分別作爲頂點和焦點的橢圓。

(3)一個焦點把長軸分成長度爲7和1兩段的橢圓。

(4)已知長軸長與短軸長之比爲2：1,一條準線方程爲x+4=0的橢圓。

(5)長軸在x軸上,離心率爲,一條準線是x=3的橢圓。

(6)焦點在x軸上,其長軸端點與相近的焦點相距爲1,與相近的一條準線距離爲。

教學要求：1）前三題學生板演。

2）要求學生進行解題反思，整合求橢圓的一般思路及注意事項。

3）後三題課外作業。

教學意圖：1、引導思考，自主探究，激活思維。

2、整理知識，整頓習慣，整合思維。

【評析】

新課程改革要求我們重新樹立教材觀，教師對教材、教輔進行再加工，再創造。習題課如果只是把課本、資料上的題目照搬照抄，使用起來總感到凌亂、目標不集中，講解單調，題目功效較弱等缺憾。這樣，備課時考慮好想要達到的目標，廣泛閱讀，仔細篩選，大膽重組編成需要的題目，使用起來很方便，講解起來易透徹，教學意圖特明顯。另外，新課改積極倡導“探究式課堂教學”，就是以探究爲主的教學。具體說它是指教學過程是在教師設定的問題引領下，以學生獨立自主學習和合作討論爲前提，以現行教材爲基本探究內容，爲學生提供充分自由表達、質疑、探究、討論問題的機會，讓學生透過個人、小組、集體等多種解難釋疑嘗試活動，將自己所學知識應用於解決實際問題的一種教學形式。一題多問，根據老師的預設，層層深入探究，發展了學生的思維，培養了自學能力；一題多變，讓學生在做題中自己發現問題、提出問題、分析問題、解決問題，促使他們自己去獲取知識、發展能力；一題多人板演，有比較，互展示，教師爲學生的學習設定探究的情境，建立探究的氛圍，讓學生在求解過程中求創新、求速度、求最佳。

【教學案例二】

○教學背景：對於橢圓方程，學生對焦點在X軸上的標準方程比較熟悉，解題時往往疏忽焦點在Y軸上的情形。於是我設定了這樣一個題目，以期引起學生重視。

教學目標：加強對橢圓方程的認識，在解題中注意焦點的位置。

問題設定：例：設方程，回答下列問題：

（1）方程表示焦點在X軸上的橢圓，求實數m的取值範圍。

（2）方程的準線與X軸平行，求實數m的取值範圍。

（3）方程的一個焦點座標爲（0，1），求m的值。

（4）方程的離心率e=，求m的值。

教學要求：四個組每組一題，選代表板演，並說出老師選這題的意圖。

教學意圖：引導思考，合作交流，比較歸納。

【評析】

兩相比照辨異同，舉一反三旁類通。比較是確定客觀事物彼此之間的不同點和相同點的一種思維方法。透過比較，能使我們認識事物本身所固有的特點（即在比較中求異），也能夠認識同類事物的共點特點（即在比較中求同）。透過這一題多問，反覆強調求解時要考慮焦點位置，意識得到強化。同時告訴學生把橢圓方程換一下，課後在去做，問題迎刃而解。透過對題目的背景的改變，讓學生不斷思考，互相啓發，總結歸納出解題規律。這類題具有很強的嚴密性和發散性，透過訓練把學生的思維引到一個廣闊的空間，培養了學生思維的廣度和深度。這樣，透過“一題多問”和“一題多變”，拓展了思維空間，培養學生的創新思維。對高中學生來說，有利於培養他們學習數學的濃厚興趣和創新精神。

【教學案例三】○教學背景：橢圓單元裏有一類圍繞焦點三角形而設定的題目，有規律可循。

問題設定：例：設P是橢圓上一點，F1、F2爲橢圓的兩個焦點，

（1）若，求P點座標，三角形F1AF2的面積。

（2）若，求P點座標，三角形F1AF2的面積。

（3）爲鈍角，求P點橫座標x0的取值範圍。

教學要求：講解問1，學生自做問2、3

【評析】

類比、聯想是重要的數學思想，求同、求異是數學思考的常見方法。“一題多問”和“一題多變”巧妙地把同類的放在一起讓學生去感受，去體會，去總結。原本被動的行爲在潛移默化中變爲自覺行爲。教學中不僅要求學生的思維活躍，教師的思維更應開放，教師只要細心大膽挖掘，從問題個性中探求共性，尋求變異，多角度、多層次去構思、延伸、開拓，這樣引導思考，自主探究，有利於激活學生思維。

【教學案例四】

○教學背景：最值題對學生來說是個難點，橢圓與雙曲線有許多相近之處，講好橢圓有利於全局。仔細研究橢圓單元的有關最值題，萬變不離其宗，有通法。

教學目標：掌握一些橢圓有關的最值問題，探求解決這類問題的一般思路。

問題設定：例：已知x、y滿足，探究下列問題：

（1）求U=x2+y2-2y的取值範圍。

（2）求U=2x+3y+4的取值範圍。

（3）求點P（x,y）到A（1，1）距離最小值及對應的P點座標。

（4）求點P（x,y）到直線L：x+2y=4距離的最值。

（5）求U=的取值範圍。

（6）設該橢圓與座標軸正半軸交於A、B兩點，在劣弧上取一點C使四邊形OACB面積最大，求面積最大值。

教學要求：教師啓發，學生口答，師生合作完成。回頭比較，總結出規律：

1）建立目標函數。對於目標函數採用的手段有：消元：法一，代入消元轉化成二次函數；如1.3.

法二，參數方程轉化成三角函數；如

聯想：數學表達式的幾何意義，如斜率、距離等。如5

2）找臨界狀態。如6

【評析】

在教學中，教師的“導”：需精心創設問題情境，組織學生進行生動有趣的“活動”，留給學生想象和思維的“空間”，充分揭示獲取知識的思維過程，使學生在過程中“學會”並“會學”，優化學生的思維品質，從而得到主體的智力發展。現代教育論指出，教育是教師的導引與學生的知行的統一，教育過程是師生交往、積極互動、共同發展的過程。交往的本質屬性是主體性，是動態的表現出來的主體之間的相互作用、相互交流、相互溝通、相互理解，在這個過程中，要消除教師中心和管理中心的傾向，實現師生互動、相互溝通、相互影響、相互補充、從而達到共識、共享、共進，這是教學相長的真諦。習題課題目的選擇重組，給師生共同探究提供了一個平臺，問題的設定，有序，遞進，透過探究能夠發現規律，便於總結歸納，很有一點“潤物無聲”的教育功效。

實踐讓我體會到“一題多問”和“一題多變”對數學問題進行再加工，再創新，能夠引導學生思考，便於學生自主探究，有利於激活學生思維。同時也能夠方便師生共同整理知識，整頓解題習慣，整合思維。“一題多問”和“一題多變”設定問題使教師的預設促學生的生成，使習題課更精彩。