分式方程精品教案
作爲一名優秀的教育工作者,通常需要用到教案來輔助教學,教案是保證教學取得成功、提高教學質量的基本條件。那麼優秀的教案是什麼樣的呢?下面是小編爲大家收集的分式方程精品教案,僅供參考,希望能夠幫助到大家。
【知識拓展】
分 母裏含有未知數的方程叫做分式方程.解分式方程組的基本思想是:化爲整式方程.通常有兩種做法:一是去分母;二是換元.
解分式方程一定要驗根.
解分式方程組時整體代換的思想體現得很充分.常見的思路有:取倒數法方程迭加法,換元法等.
列分式方程解應用題,關鍵是找到相等關係列出方程.如果方程中含有字母表示的已知數,需根據題競變換條件,實現轉化.設未知數而不求解是常見的技巧之一.
例題求解
一、分式方程(組)的解法舉例
1.拆項重組解分式方程
【例1】解方程 .
解析 直接去分母太繁瑣,左右兩邊分別通分仍有很複雜的分子.考慮將每一項分拆:如 ,這樣可降低計算難度.經檢驗 爲原方程的解.
注 本題中用到兩個技巧:一是將分式拆成整式加另一個分式;二是交換了項,避免通分後分子出現x.這樣大大降低了運算量.本講趣題引路中的問題也屬於這種思路.
2.用換元法解分式方程
【例2】解方程 .
解析 若考慮去分母,運算量過大;分拆也不行,但各分母都是二次三項式,試一試換元法.
解 令x2+ 2x―8=y,原方程可化爲
解這個關於y的分式方程得y=9x或y=-5x.
故當y=9x時,x2+2x―8=9x,解得x1=8,x2=―1.
當y=-5x時,x2+2x―8=-5x,解得x3=―8,x4=1.
經檢驗,上述四解均爲原方程的解.
注 當分式方程的結構較複雜且有相同或相近部分時,可透過換元將之簡化.
3.形如 結構的分式方程的解法
形如 的分式方程的解是: , .
【例3】解方程 .
解析 方程左邊兩項的乘積爲1,可考慮化爲上述類型的問題求解.
, 均爲原方程的解.
4.運用整體代換解分式方程組
【例4】解方程組 .
解析 若用常規思路設法消元,難度極大.注意到每一方程左邊分子均爲單項式,爲什麼不試一試倒過來考慮呢?
解 顯然x=y=z=0是該方程組的一組解.
若x、y、z均不爲0,取倒數相加得x=y=z=
故原方程組的解爲x=y=z=0和x=y=z= .
二、含字母系數分式方程根的討論
【例5】解關於x的方程 .
解析 去分母化簡 爲含字母系數的一次方程,須分類討論.
討論:(1)當a2-1≠0時
①當a≠0時,原方程解爲x= ;
②當a=0時,此時 是增根.
(2) 當a2-1=0時即a= ,此時方程的解爲x≠ 的任意數;
綜上,當a≠±1且a≠0時,原方程解爲x= ;當a=0時,原方程無解,;當a= 時,原方程的解爲x≠ 的任意數.
三、列分式方程解應用題
【例6】 某商場在一樓和二樓之間安裝了一自動扶梯,以均勻的速度向上行駛,一男孩和一女孩同時從自動扶梯上走到二樓(扶梯行駛,兩人也走梯).如果兩人上梯的速度都是勻速的,每次只跨1級,且男孩每分鐘走動的級數是女孩的2倍.已知男孩走了27級到達扶梯頂部,而女孩走了18級到達頂部.
(1)扶梯露在外面的部分有多少級?
(2)現扶梯近旁有一從二樓下到一樓的樓梯道,臺階的級數與 自動扶梯的級數相等,兩個孩子各自到扶梯頂部後按原 速度再下樓梯 ,到樓梯底部再乘自動扶梯上樓(不考慮扶梯與樓梯間的距離).求男孩第一次迫上女孩時走了多少級臺階?
解析 題中有兩個等量關係,男孩走27級的時間等於扶梯走了S-27級的時間;女孩走18級的時間等於扶梯走S―18級的時間.
解 (1)設女孩上梯速度爲x級/分,自動扶梯的速度爲y級/分,扶梯露在外面的部分有S級,則男孩上梯的速度爲2x級/分,且有
解得 S=54.
所以扶梯露在外面的部分有54級.
(2)設男孩第一次追上女孩時走過自動扶梯rn遍,走過樓梯n遍,則女孩走過自動扶梯(m―1)遍、走過樓梯(n―1)遍.
由於兩人所走的時間相等,所以有 .
由(1)中可求得y=2x,代人上面方程 化簡得6n+m=16.
無論男孩第一次追上女孩是在自動扶梯還是在下樓時,m、n中都一定有一個是正整數,且0≤m―n≤1.
試驗知只有 m=3,n= 符合要求.
所以男孩第一次追上女孩時走的級數爲3×27+ ×54=198(級).
注 本題求解時設的未知數x、y,只設不求,這種方法在解複雜的應用題時常用來幫助分析數量關係,便於解題.
【例7】 (江蘇省初中數學競賽C卷)編號爲1到25的25個彈珠被分放在兩個籃子A和B中.15號彈珠在籃子A中,把這個彈珠從籃子A移至籃子B中,這時籃子A中的彈珠號碼數的平均數等於原平均數加 ,籃子B中彈珠號碼數的平均數也等於原平均數加 .問原來在籃子A中有多少個彈珠?
解析 本題涉及A中原有彈珠,A、B中號碼數的平均數,故引入三個未知數.
解 設原來籃子A中有彈珠x個,則籃子B中有彈珠(25-x)個.又記原來A中彈珠號碼數的平均數爲a,B中彈珠號碼數的平均數爲b.則由題意得
解得x=9,即原來籃子A中有9個彈珠.
學力訓練
(A級)
1.解分式方程 .
2.若關於x的方程 有增根x=1,求k的值.
3.解分式方程 .
4.解方程組 .
5.丙、丁三管齊開,15分鐘可注滿全池;甲、丁兩管齊開,20分鐘注滿全池.如果四管齊開,需要多少時間可以注滿全池?
(B級)
1.關於x的方程 有唯一的解,字母已知數應具備的條件是( )
A. a≠b B.c≠d C.c+d≠0 D.bc+ad≠0
2.某隊伍長6km,以每小時5 km的速度行進,通信員騎馬從隊頭到隊尾送信,到 隊尾後退返回隊頭,共用了0.5 h,則通信員騎馬的速度爲每小時 km.
3.某項工作,甲單獨作完成的天數爲乙、丙合作完成天數的m倍,乙單獨作完成的天數爲甲、丙合作完成天數的n倍,丙單獨作完成的天數爲甲、乙合作完成天數的k倍,則 = .
4.m爲何值時,關於x、y的方程組: 的解,滿足 , ?
5.(天津市中考題)某工程由甲、乙兩隊合做6天完成,廠 家需付甲、乙兩隊共8700元;乙、丙兩隊合做10天完成,廠家需付乙、丙兩隊共9500元;甲、丙兩隊合做5天完成全部工程的 ,廠家需付甲、丙兩隊共5500元.
(1)求甲、乙、丙各隊單獨完成全部工程各需多少天?
(2)若工期要求不超過15天完成全部工程,問:由哪隊單獨完成此項 工程花錢最少?請說明理由.
6.甲、乙二人兩次同時在同一糧店購買糧食(假設兩次購買的單價不同),甲每次購買糧食100kg,乙每次購買糧食用去100元.設甲、乙兩人第一次購買糧食的單價爲x元/kg,第二次單價爲y元/kg.
(1)用含x、y的代數式表示甲兩次購買糧食共需付款 元,乙兩次共購買 kg糧食.若甲兩次購買糧食的平均單價爲每千克Ql元,乙兩次購糧的平均單價爲每千克Q2元則Q1= ;Q2= .
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