關於矩形練習題

由於矩形是特殊的平行四邊形，故包含平行四邊形的性質；矩形又可分爲長方形和正方形，故包含長方形和正方形的一些共有的性質。

矩形練習題

一、教學目標：

1．掌握矩形的概念和性質，理解矩形與平行四邊形的區別與聯繫．

2．會初步運用矩形的概念和性質來解決有關問題．

3．滲透運動聯繫、從量變到質變的觀點．

二、重點、難點

1．重點：矩形的性質．

2．難點：矩形的性質的靈活應用．

三、例題的意圖分析

例1是教材P104的例1，它是矩形性質的直接運用，它除了用以鞏固所學的矩形性質外，對計算題的格式也起了一個示範作用．例2與例3都是補充的題目，其中透過例2的講解是想讓學生瞭解：（1）因爲矩形四個角都是直角，因此矩形中的計算經常要用到直角三角形的性質，而利用方程的思想，解決直角三角形中的計算，這是幾何計算題中常用的方法；（2）“直角三角形斜邊上的高”是一個基本圖形，利用面積公式，可得到兩直角邊、斜邊及斜邊上的高的一個基本關係式．並能透過例2、例3的講解使學生掌握解決有關矩形方面的一些計算題目與證明題的方法．

四、課堂引入

1．展示生活中一些平行四邊形的實際應用圖片（推拉門，活動衣架，籬笆、井架等），想一想：這裏面應用了平行四邊形的什麼性質？

2．思考：拿一個活動的平行四邊形教具，輕輕拉動一個點，觀察不管怎麼拉，它還是一個平行四邊形嗎？爲什麼？（動畫演示拉動過程如圖）

3．再次演示平行四邊形的移動過程，當移動到一個角是直角時停止，讓學生觀察這是什麼圖形？（小學學過的長方形）引出本課題及矩形定義．

矩形定義：有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形(通常也叫長方形)．

矩形是我們最常見的圖形之一，例如書桌面、教科書的封面等都有矩形形象．

【探究】在一個平行四邊形活動框架上，用兩根橡皮筋分別套在相對的兩個頂點上（作出對角線），拉動一對不相鄰的頂點，改變平行四邊形的形狀．

① 隨着∠α的變化，兩條對角線的長度分別是怎樣變化的？

② 當∠α是直角時，平行四邊形變成矩形，此時它的其他內角是什麼樣的角？它的兩條對角線的長度有什麼關係？

操作，思考、交流、歸納後得到矩形的性質．

矩形性質1  矩形的四個角都是直角．

矩形性質2  矩形的對角線相等．

如圖，在矩形ABCD中，AC、BD相交於點O，由性質2有AO=BO=CO=DO=AC=BD．因此可以得到直角三角形的一個性質：直角三角形斜邊上的中線等於斜邊的一半．

五、例習題分析

例1 （教材P104例1）已知：如圖，矩形ABCD的兩條對角線相交於點O，∠AOB=60°，AB=4c，求矩形對角線的長．

分析：因爲矩形是特殊的平行四邊形，所以它具有對角線相等且互相平分的特殊性質，根據矩形的這個特性和已知，可得△OAB是等邊三角形，因此對角線的長度可求．

解：∵ 四邊形ABCD是矩形，

∴ AC與BD相等且互相平分．

∴ OA=OB．

又 ∠AOB=60°，

∴ △OAB是等邊三角形．

∴ 矩形的對角線長AC=BD = 2OA=2×4=8（c）．

例2（補充）已知：如圖 ，矩形 ABCD，AB長8 c ，對角線比AD邊長4 c．求AD的長及點A到BD的距離AE的長．

分析：（1）因爲矩形四個角都是直角，因此矩形中的.計算經常要用到直角三角形的性質，而此題利用方程的思想，解決直角三角形中的計算，這是幾何計算題中常用的方法．

略解：設AD=xc，則對角線長（x+4）c，在Rt△ABD中，由勾股定理：，解得x=6． 則 AD=6c．

（2）“直角三角形斜邊上的高”是一個基本圖形，利用面積公式，可得到兩直角邊、斜邊及斜邊上的高的一個基本關係式： AE×DB＝ AD×AB，解得 AE＝ 4.8c．

例3（補充） 已知：如圖，矩形ABCD中，E是BC上一點，DF⊥AE於F，若AE=BC． 求證：CE＝EF．

分析：CE、EF分別是BC，AE等線段上的一部分，若AF＝BE，則問題解決，而證明AF＝BE，只要證明△ABE≌△DFA即可，在矩形中容易構造全等的直角三角形．

證明：∵ 四邊形ABCD是矩形，

∴ ∠B=90°，且AD∥BC． ∴ ∠1=∠2．

∵ DF⊥AE， ∴ ∠AFD=90°．

∴ ∠B=∠AFD．又 AD=AE，

∴ △ABE≌△DFA（AAS）．

∴ AF=BE．

∴ EF=EC．

此題還可以連接DE，證明△DEF≌△DEC，得到EF＝EC．

六、隨堂練習

1．（填空）

（1）矩形的定義中有兩個條件：一是 ，二是 ．

（2）已知矩形的一條對角線與一邊的夾角爲30°，則矩形兩條對角線相交所得的四個角的度數分別爲 、 、 、 ．

（3）已知矩形的一條對角線長爲10c，兩條對角線的一個交角爲120°，則矩形的邊長分別爲 c， c， c， c．

2．（選擇）

（1）下列說法錯誤的是（ ）．

（A）矩形的對角線互相平分 （B）矩形的對角線相等

（C）有一個角是直角的四邊形是矩形 （D）有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形

（2）矩形的對角線把矩形分成的三角形中全等三角形一共有（ ）．

（A）2對 （B）4對 （C）6對 （D）8對

3．已知：如圖，O是矩形ABCD對角線的交點，AE平分∠BAD，∠AOD=120°，求∠AEO的度數．

七、課後練習

1．（選擇）矩形的兩條對角線的夾角爲60°，對角線長爲15c，較短邊的長爲（ ）．

(A)12c (B)10c (C)7.5c (D)5c

2．在直角三角形ABC中，∠C=90°，AB=2AC，求∠A、∠B的度數．

3．已知：矩形ABCD中，BC=2AB，E是BC的中點，求證：EA⊥ED．

4．如圖，矩形ABCD中，AB=2BC，且AB=AE，求證：∠CBE的度數．