力矩平衡條件的應用物理教案

關於殘缺圓盤重心的分析

例1 一個均勻圓盤，半徑爲 ，現在在園盤靠着邊緣挖去一個半徑爲 的圓孔，試分析說明挖去圓孔後，圓盤的重心在何處．

解析：由於圓盤均勻，設圓盤的單位面積的重力爲 ，

爲了思考問題的方便，我們設想在大圓盤的另一側對稱地再挖去一個半徑等於 的小圓，如圖所示，我們要求的是紅色的小圓盤與灰色部分的重心位置，根據對稱性， 一定是大圓圓心 與小圓圓心 連線上，設 ，則 ．

如果我們用手指支撐在 點，則這個物體會保持平衡，這兩部分的重心對 點的力矩滿足平衡條件．這兩部分的重力分別是 及 ．

可列出力矩平衡方程

解方程，得出： ．

關於一端擡起的木杆重力問題

例2 一個不均勻的長木杆，平放在地面上，當我們擡起它的一端（另一端支在地面上），需要用500N的力；如果擡另一端，發現這回需要用800N才能擡起．請分析說明這根木杆的重力是多少？

解析：設木杆長爲 ，重力爲 ，已知擡起 端時用力爲500N，擡起 端時用力大小爲800N．可以假設木杆的重心距 端爲 ，距 端爲 ．

擡 端時，以 端點爲軸 由力矩平衡條件可得

擡 端時，以 端點爲軸 由力矩平衡條件可得

聯立上面的兩方程式可得

關於圓柱體滾臺階的問題

例3 如圖所示，若使圓柱體滾上臺階，要使作用力最小，試分析作用力的作用點應作用在圓柱體截面的什麼位置？

解析：根據題意：

在圓柱體滾上臺階的過程中，圓柱體與臺階相接處爲轉動軸．

由固定轉動軸物體的`平衡條件可知：在勻速轉動時圓柱體的重力的力矩應與作用力的力矩相等．又因爲圓柱體的重力和它對轉動軸的力臂是確定的，所以要使作用力最小其力臂一定最長，又因爲轉動軸在圓柱體的邊緣上，作用力的作用點也要在圓柱體的邊緣上，要想作用力的力臂最長就只有圓柱體截面的直徑，如圖；作用力的方向是垂直圓柱體截面直徑向上，如圖所示：