數學教案-雙曲線的幾何性質
作爲一名優秀的教育工作者,通常會被要求編寫教案,教案是教學藍圖,可以有效提高教學效率。快來參考教案是怎麼寫的吧!以下是小編爲大家整理的數學教案-雙曲線的幾何性質,希望能夠幫助到大家。
㈠課時目標
1.熟悉雙曲線的幾何性質。
2.能理解離心率的大小對雙曲線形狀的影響。
3.能運用雙曲線的幾何性質或圖形特徵,確定焦點的位置,會求雙曲線的標準方程。
㈡教學過程
[情景設定]
敘述橢圓的幾何性質,並填寫下表:
方程
性質
圖像(略)
範圍-a≤x≤a,-b≤y≤b
對稱性對稱軸、對稱中心
頂點(±a,0)、(±b,0)
離心率e=(幾何意義)
[探索研究]
1.類比橢圓的幾何性質,探討雙曲線的幾何性質:範圍、對稱性、頂點、離心率。
雙曲線的實軸、虛軸、實半軸長、虛半軸長及離心率的定義。
雙曲線與橢圓的幾何性質對比如下:
方程
性質
圖像(略)(略)
範圍-a≤x≤a,-b≤y≤bx≥a,或x≤-a,y∈R
對稱性對稱軸、對稱中心對稱軸、對稱中心
頂點(±a,0)、(±b,0)(-a,0)、(a,0)
離心率0<e=<1
e=>1
下面繼續研究離心率的幾何意義:
(a、b、c、e關係:c2=a2+b2, e=>1)
2.漸近線的發現與論證
根據橢圓的上述四個性質,能較爲準確地把畫出來嗎?(能)
根據上述雙曲線的四個性質,能較爲準確地把畫出來嗎?(不能)
透過列表描點,能把雙曲線的頂點及附近的點,比較精確地畫出來,但雙曲線向何處伸展就不很清楚。
我們能較爲準確地畫出曲線y=,這是爲什麼?(因爲當雙曲線伸向遠處時,它與x軸、y軸無限接近)此時,x軸、y軸叫做曲線y=的漸近線。
問:雙曲線有沒有漸近線呢?若有,又該是怎樣的直線呢?
引導猜想:在研究雙曲線的範圍時,由雙曲線的標準方程可解出:
y=± =±
當x無限增大時,就無限趨近於零,也就是說,這是雙曲線y=±
與直線y=±無限接近。
這使我們猜想直線y=±爲雙曲線的漸近線。
直線y=±恰好是過實軸端點A1、A2,虛軸端點B1、B2,作平行於座標軸的直線x=±a, y=±b所成的矩形的兩條對角線,那麼,如何證明雙曲線上的點沿曲線向遠處運動時,與漸近線越來越接近呢?顯然,只要考慮第一象限即可。
證法1:如圖,設M(x0,y0)爲第一象限內雙曲線上的仍一點,則
y0=,M(x0,y0)到漸近線ay-bx=0的距離爲:
∣MQ∣= =
=.
點M向遠處運動,x0隨着增大,∣MQ∣就逐漸減小,M點就無限接近於y=
故把y=±叫做雙曲線的漸近線。
3.離心率的幾何意義
∵e=,c>a, ∴e>1由等式c2-a2=b2,可得===
e越小(接近於1)越接近於0,雙曲線開口越小(扁狹)
e越大越大,雙曲線開口越大(開闊)
4.鞏固練習
求下列雙曲線的漸近線方程,並畫出雙曲線。
①4x2-y2=4 ②4x2-y2=-4
已知雙曲線的漸近線方程爲x±2y=0,分別求出過以下各點的雙曲線方程
①M(4,)②M(4,)
[知識應用與解題研究]
例1求雙曲線9y2-16x2=144的實半軸長和虛半軸長、焦點座標、離心率、漸近線方程。
例2雙曲線型自然通風塔的`外形,是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉而成的曲面,如圖;它的最小半徑爲12m,上口半徑爲13m,下口半徑爲25m,高爲55m,選擇適當的座標系,求出此雙曲線的方程(精確到1m)
㈣提煉總結
1.雙曲線的幾何性質及a、b、c、e的關係。
2.漸近線是雙曲線特有的性質,其發現證明蘊含了重要的數學思想與數學方法。
3.雙曲線的幾何性質與橢圓的幾何性質類似點和不同點。
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