中小學數學知識結構探究論文

新課標認爲，數學知識包含客觀的數學事實和以之爲載體的主觀活動經驗、思想方法和應用技能[1]。數學知識並非是現實的拷貝，而是對現實（包括人類己有知識）的邏輯建構，且往往都是看不見的。結構決定功能，因此，我們有必要考察數學知識的結構形式。

結構是“系統諸要素相對穩定的聯繫方式”。數學知識的結構就是數學知識體系中各知識點的一種相對穩定的聯繫形式。一個抽象的集合只不過是一組元素而己，無所謂結構，一但引入了一種聯繫方式，就形成了一種結構。例如，實數集引入通常加法就形成了基本的代數結構一羣。知識本身具有複雜的結構形態，同時在結構中顯現其特性。一方面，數學知識的結構，不是各組成部分的簡單排列和組合，而是受一整套內在規律支配，各部分以不可分割，不可簡化，互爲補充的方式運作。這套規律超越並支配着知識結構的每一種表現形式，決定了結構的性質和功能，任何部分的意義由它和既定情景中其他部分之間的關係確定。例如，正數、負數和零組成實數域結構，它受到有序性、完備性的支配，獨立存在的一個實數沒有任何實際意義。另一方面，假如離開了知識的各種表現結構，知識便失去了自己存在的意義。人類對客觀世界的認識經歷了千百萬年，歷代數學家積累下來的數學知識浩如煙海。以數學知識的組織方式爲邏輯範疇，可將數學知識結構分爲四種類型：邏輯結構、認知結構、教材結構和教學結構。下面分別闡述其對中小學數學教育的作用。

1邏輯結構是數學知識系統的基礎

邏輯推斷是貫穿數學知識的主線。由公理出發並嚴格按邏輯規律構造的知識結構就是邏輯結構。數學知識的邏輯結構是非線性的樹狀結構，它的根在不停地向下延伸，它的枝葉在不停地向上生長，今天己成爲一棵枝繁葉茂根深的參天大樹。

數學知識的邏輯結構以《幾何原本》爲典範。公理化方法加強了似乎彼此相距很遠的那些數學領域之間的聯繫，把某一領域得出的方法（結論）應用於與之同構的其他領域，從而獲得一系列重要成果。這種結構方法從個別推出一般，是非常經濟的思維。公理化思想方法不僅滲透到數學的每一個分支，而且影響到其餘科學領域，它避免了“無限向前推”的情況，把人們的目光引到向後推一今後的發展上，類似數學這樣建立起的知識體系纔是科學。按解釋法，幾何公理體系和實數公理體系的無矛盾性都可歸結爲自然數算法的無矛盾性，但自然數算法的無矛盾性不可能用它自己內部形成的方法來證明，因此，數學中的公理化方法有一定的界限，數學知識的邏輯真實性也有一定的界限。於是，公理化方法在中學數學教學中的地位被逐漸削弱了，旨在讓學生體會公理化思想的過程。

傳統認爲“‘數學是研宄數量關係和空間形式的科學”在現代數學中“數”和“形”需要在更加廣闊的意義下去理解！布爾巴基學派認爲，數學是研宄形式結構的科學，數學各分支應能按結構性質來歸類和統一，具體地說就是，利用形式公理化方法抽象出各數學分支的各種結構，找出各分支之間的結構差異，從而獲得各分支之間內在關係的清晰圖象。即用結構的觀點來看待數學全局的每個分支。今天的數學己不再是彼此分開的章節所集合起來的一堆東西，而是一個巨大的相互聯繫的結構體系。這些結構原來都是從三種“母結構”一代數結構、序結構、拓撲結構一脫胎出來的。由此可以形成各種子結構和多重結構。例如，實數域同爲上述三種結構的多重結構。

2認知結構是學生學習的出發點和歸宿

所謂“認知結構”是指學科知識的實質性內容在學習者頭腦中的組織結構。這種知識結構是由學科知識的基本概念、原理、過程、思想方法以及它們之間的關係組成。數學學習是數學認知結構的組織（同化）和重新組織（順應）並形成新結構的過程，即是一個“再創造”過程。任何一門學科知識的學習就是在學生的頭腦中形成一定的知識結構。良好的認知結構不是知識點的簡單堆積，而是經個體理解並重新組織過的、穩定的、可利用的統一體。

兒童在入學之前很久，就因社會環境的作用而學會了數數，從而可以學會一些經驗性知識與準則。皮亞傑以他的.朋友作爲結構主義的範例：有一位數學家小時候對數學第一次發生興趣是因爲一次偶然的遊戲，他把一堆石子排成一行，發現無論從那端開始去數石子，石子總數都是一樣的。次序不在石子之中，正是他自己把石子排成一條線。總數不在石子之中，也正是他自己把它們合併在一起。石子總數表現了這一堆石子之間的數量關係。在這個例子中包含了數學事實、數學活動經驗、思想等。次序、總數等就其本身而言是沒有意義的，它的意義事實上由它和遊戲中的其他因素所決定的。總之，任何數學事實或經驗的意義除非它被結合到結構（它是其中的組成部分）中去，否則便不能被人們感覺到。兒童在生活中下意識的排序、分類和玩幾何模型玩具等，是在爲知識的形成提供理想的基礎，其可能就在構築日後出現的集合論！學齡前兒童在十分狹窄的範圍內意識到或認識到數量、序列與拓撲。因此，我們必須讓兒童積極構築個人技能與算術概念及邏輯概念的基礎，兒童今後的全部數學知識結構都將以此爲基礎。

兒童在學校中主動地建構認知結構，數學教學應易於學生根據特定目標生成新的知識結構。如學習負數時，由生活中的收支盈虧問題引入，揭示盈虧的內在聯繫，理解引入負數的必然性,從而建構新的認知結構,同時也是對原認知結構的進一步認識和理解，並得到重組。如圖1表示學生在學習過程中認知結構形成的一般過程：學習者首先下意識地將新知識納入原有認知結構--同化新知識，使認知結構的數量得到擴充，當原有認知結構不能同化新知識時，則必須改造或創建新的認知結構，才能和新知識相適應一順應，才能維持生物演化的平衡機制。

3教材結構體現了一定的社會價值標準

教材結構是指教材要素體系的框架結構。它反映了學習者認識客體的活動及進程。一般認爲數學教材要素是知識點，而知識點由知識與技能（含事實、概念、原理、公式），過程與方法，情感、態度與價值觀三大部分組成。數學教材中，由知識點構成知識樹、知識網、知識塊和螺旋體等結構，並以有利於學生建構穩定的、可辨的和可利用的認知結構爲首要標準。編寫教材不但要注重數學知識之間的邏輯關係，還應考慮表現數學知識的符號與客觀事物的聯繫，以及與人的關係，從而實現教材對學生的教養、教育和發展功能。因此,教材結構當以一定的社會價值標準爲基礎,提出某些標準作爲教材建設的理論前提，使之成爲編寫教材的依據，並研宄如何才能符合這些標準。用發展的眼光來看，中小學學生應學習將來最有價值的數學，教材就要回答“應該學什麼”的問題。由於社會的多元化，教材也具有社會多元化特點，教材的典型代表教科書也應是多樣化的。

數學教材只是數學知識這座冰山露出水面的冰峯的一角，其顯著特點是不追求數學科學本身的完備性和覆蓋面，不要求公理體系的獨立性，此時，擴大了公理的數量，也不太要求嚴格的論證，這一點與數學史不謀而合。旦是，精確的定義、嚴密的演繹展開、幾乎沒有多餘的文字敘述，用人爲編造的內容情節來呈現知識，還是讓學生難於理解“淡化形式，注重實質”己經成爲共識，力求把乾巴巴的、符號化的學術形式演繹體系，轉化爲生動活潑、有血有肉的教育數學形態，就是爲了便於學生學習。新一輪基礎教育課程改革理念指導下所開發的教材，重心己從教師如何教，轉移到學生如何使用教材上，尋求學生心理髮展與數學本身發展邏輯的整合，賦予教材中數學知識更多的社會價值觀，最終使學生明白學習數學的意義何在，價值在哪兒。

4教學結構是實現數學教育目的的必要手段

數學教學是人類活動之一，是一種以參與者爲主體，並在一定文化環境中所從事的創造性活動。某種教學結構是爲達到某一方面教學目的而設計的教學活動典範。在實際教學過程中,教學結構所包含的因素由於其組合方式的不同而具有多種不同的形態，並有各自獨特的功能。儘管教學結構種類繁多，但都主要由目的、目標、程序、策略、內容和評價等因素組成。例如，問題情境一建立模型一解釋一應用一拓展這種教學結構，讓學生經歷知識的形成與應用過程，從而更好地理解數學知識的意義。1]講授式教學結構包括：誘導學習動機一感知理解教材一鞏固知識一運用知識一檢查反饋5個基本步驟，常用於系統知識和技能的講授和學習。

研究數學教學結構，就是研究數學知識構建、傳播與吸收的過程及規律，其目的是縮短兒童認識數學知識的過程，實現對數學知識的真正理解，而不是簡單的會做。人邏輯成分的多少來看，至少可將數學知識分爲二類：一類是常規的東西。數字名稱、線段、角、一年的月份等常識，如同“爲什麼汽車不靠左行駛”一樣，都是心智努力而無法發現的，應該逐字逐句地教，使兒童賦予我們所用詞語的意義跟我們頭腦中所想的定義相同，只有記住才行，必要時可熟練地複述並隨時利用。另一類基於理性思考的東西則應該去理解。如“稀稀拉拉的自然數和密密麻麻的有理數一樣多”又如：兒童在理解基數意義（指一個有限集合的整體）之前，模仿成年人，“依葫蘆畫瓢”，以“最後一個數字來回答是多少”的問題。要從本質概念上真正掌握基數，不僅要了解最後一個數字指所有計算成分的總數，而且還要知道，它包括着按順序保留的此前的所有較小的數字。隨着學習的不斷深入，需要理解地掌握的數學知識愈來愈多，只有真正理解了數學知識孕含的思想方法，才能轉變爲數學能力。

知識是無法傳遞的，傳遞的只是資訊。在數學課程中既有凝固的、明示的知識資訊，也有流動的、隱喻的知識資訊。學生在數學教學過程中感受、體驗獲得的情感、態度與價值觀，是可學不可教的，甚至是隻可意會，不可言傳的！在數學教學結構中，主體之間多向傳遞對數學知識的認識的資訊，學生由此建構數學認知結構。由於教學活動是多種教學結構的有機整合，任何一種教學結構都不是孤立存在的，教學效果也往往是多種教學結構的綜合效應，因此，每種教學結構作爲解決具體問題，完成目標的一種工具，需要相互配合，才能發揮各自的最佳效能。根據不同的目標、內容、環境等，可採取不同的教學結構。

5小結

數學知識的邏輯結構是其餘結構的基礎。數學知識的認知結構是學生學習的出發點和歸宿！數學知識的教材結構體現了社會發展的理念，由教材編寫者來實現，是學生認知結構的主要來源。數學知識的教學結構是認知結構，教材結構和邏輯結構等在學校教學中的集中體現。這幾種結構是教師在教學設計中自覺不自覺都要考慮的。各種結構之間相互包攝及相互嵌套，實現着一種跨結構之間的交流。

數學知識的幾種結構的表現形式都不是唯一的。同一知識點在系統邏輯結構、認知結構、教材結構、教學結構中的位置是不盡相同的，正是這種差異，推動了課程改革的深入，使學習數學知識的過程成爲學生個性發展發展的過程，從而每個學生都能得到充分的發展。釐清數學知識的幾種結構，找出相應的對策和措施，纔能有的放矢，使我們的教學工作走上一個新的臺階。應當注意的是，儘管從四個維度來考察數學知識結構，作出了劃分，但我們仍持有一種“整體的”信念，其中任一維度均是全息式的，每一維的結構與整體結構具有“自相似性”這是現代教學論給我們的啓示。