初中數學知識點圓總結
今天小編爲大家精心整理了一篇有關初中數學圓的知識點內容,以供大家閱讀,謝謝!
知識點:
一、圓
1、圓的有關性質
在一個平面內,線段OA繞它固定的一個端點O旋轉一週,另一個端點A隨之旋轉所形成的圖形叫圓,固定的端點O叫圓心,線段OA叫半徑。
由圓的意義可知:
圓上各點到定點(圓心O)的距離等於定長的點都在圓上。
就是說:圓是到定點的距離等於定長的點的集合,圓的內部可以看作是到圓。心的距離小於半徑的點的集合。
圓的外部可以看作是到圓心的距離大於半徑的點的集合。連結圓上任意兩點的線段叫做弦,經過圓心的弦叫直徑。圓上任意兩點間的部分叫圓弧,簡稱弧。
圓的任意一條直徑的兩個端點分圓成兩條弧,每一條弧都叫半圓,大於半圓的弧叫優弧;小於半圓的弧叫劣弧。由弦及其所對的弧組成的圓形叫弓形。
圓心相同,半徑不相等的兩個圓叫同心圓。
能夠重合的兩個圓叫等圓。
同圓或等圓的半徑相等。
在同圓或等圓中,能夠互相重合的弧叫等弧。
二、過三點的圓
l、過三點的圓
過三點的圓的作法:利用中垂線找圓心
定理不在同一直線上的三個點確定一個圓。
經過三角形各頂點的圓叫三角形的外接圓,外接圓的圓心叫外心,這個三角形叫圓的內接三角形。
2、反證法
反證法的三個步驟:
①假設命題的結論不成立;
②從這個假設出發,經過推理論證,得出矛盾;
③由矛盾得出假設不正確,從而肯定命題的結論正確。
例如:求證三角形中最多隻有一個角是鈍角。
證明:設有兩個以上是鈍角
則兩個鈍角之和>180°
與三角形內角和等於180°矛盾。
∴不可能有二個以上是鈍角。
即最多隻能有一個是鈍角。
三、垂直於弦的直徑
圓是軸對稱圖形,經過圓心的每一條直線都是它的對稱軸。
垂徑定理:垂直於弦的直徑平分這條弦,並且平分弦所對的兩條弧。
推理1:平分弦(不是直徑)的直徑垂直於弦,並且平分弦所對兩條弧。
弦的垂直平分線經過圓心,並且平分弦所對的兩條弧。
平分弦所對的一條弧的直徑,垂直平分弦,並且平分弦所對的另一個條弧。
推理2:圓兩條平行弦所夾的弧相等。
四、圓心角、弧、弦、弦心距之間的關係
圓是以圓心爲對稱中心的中心對稱圖形。
實際上,圓繞圓心旋轉任意一個角度,都能夠與原來的圖形重合。
頂點是圓心的'角叫圓心角,從圓心到弦的距離叫弦心距。
定理:在同圓或等圓中,相等的圓心角所對的弧相等,所對的弦相等,所對的弦心距相等。
推理:在同圓或等圓中,如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中,有一組量相等,那麼它們所對應的其餘各組量都分別相等。
五、圓周角
頂點在圓上,並且兩邊都和圓相交的角叫圓周角。
推理1:同弧或等弧所對的圓周角相等;同圓或等圓中,相等的圓周角所對的弧也相等。
推理2:半圓(或直徑)所對的圓周角是直角;90°的圓周角所對的弦是直徑。
推理3:如果三角形一邊上的中線等於這邊的一半,那麼這個三角形是直角三角形。
由於以上的定理、推理,所添加輔助線往往是添加能構成直徑上的圓周角的輔助線。
六、圓的判定性質
1.不在同一直線上的三點確定一個圓。
2.垂徑定理 垂直於弦的直徑平分這條弦並且平分弦所對的兩條弧
推論1 ①平分弦(不是直徑)的直徑垂直於弦,並且平分弦所對的兩條弧
②弦的垂直平分線經過圓心,並且平分弦所對的兩條弧
③平分弦所對的一條弧的直徑,垂直平分弦,並且平分弦所對的另一條弧
推論2 圓的兩條平行弦所夾的弧相等
3.圓是以圓心爲對稱中心的中心對稱圖形
4.圓是定點的距離等於定長的點的集合
5.圓的內部可以看作是圓心的距離小於半徑的點的集合
6.圓的外部可以看作是圓心的距離大於半徑的點的集合
7.同圓或等圓的半徑相等
8.到定點的距離等於定長的點的軌跡,是以定點爲圓心,定長爲半徑的圓
9.定理 在同圓或等圓中,相等的圓心角所對的弧相等,所對的弦 相等,所對的弦的弦心距相等
10.推論 在同圓或等圓中,如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩 弦的弦心距中有一組量相等那麼它們所對應的其餘各組量都相等。
11定理 圓的內接四邊形的對角互補,並且任何一個外角都等於它 的內對角
12.①直線L和⊙O相交 d
②直線L和⊙O相切 d=r
③直線L和⊙O相離 dr
13.切線的判定定理 經過半徑的外端並且垂直於這條半徑的直線是圓的切線
14.切線的性質定理 圓的切線垂直於經過切點的半徑
15.推論1 經過圓心且垂直於切線的直線必經過切點
16.推論2 經過切點且垂直於切線的直線必經過圓心
17.切線長定理 從圓外一點引圓的兩條切線,它們的切線長相等, 圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角
18.圓的外切四邊形的兩組對邊的和相等 外角等於內對角
19.如果兩個圓相切,那麼切點一定在連心線上
20.①兩圓外離 dR+r ②兩圓外切 d=R+r
③.兩圓相交 R-rr)
④.兩圓內切 d=R-r(Rr) ⑤兩圓內含dr)
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