函數和不等式專項訓練題
一、選擇題
1.(2014?北京卷)下列函數中,定義域是R且爲增函數的是?( ).
A.y=e-x ?B.y=x3
C.y=ln x ?D.y=|x|
解析 依據函數解析式,透過判斷定義域和單調性,逐項驗證.A項,函數定義域爲R,但在R上爲減函數,故不符合要求;B項,函數定義域爲R,且在R上爲增函數,故符合要求;C項,函數定義域爲(0,+∞),不符合要求;D項,函數定義域爲R,但在(-∞,0]上單調遞減,在[0,+∞)上單調遞增,不符合要求.
答案 B
2.(2014?臨沂一模)函數f(x)=lnxx-1+x12 的定義域爲?( ).
A.(0,+∞) ?B.(1,+∞)
C.(0,1) ?D.(0,1)∪(1,+∞)
解析 要使函數有意義,則有x≥0,xx-1>0,
即x≥0,x?x-1?>0,解得x>1.
答案 B
3.(2014?江西卷)已知函數f(x)=a?2x,x≥0,2-x,x<0(a∈R),若f[f(-1)]=1,則a=??( ).
A.14 ?B.12
C.1 ?D.2
解析 根據分段函數的解析式列方程求字母的取值.
由題意得f(-1)=2-(-1)=2,f[f(-1)]=f(2)=a?22=4a=1,∴a=14.
答案 A
4.函數f(x)的圖象向右平移1個單位長度,所得圖象與曲線y=ex關於y軸對稱,則f(x)=??( ).
+1 ?-1
C.e-x+1 ?D.e-x-1
解析 與曲線y=ex圖象關於y軸對稱的曲線爲y=e-x,函數y=e-x的圖象向左平移一個單位得到函數f(x)的圖象,即f(x)=e-(x+1)=e-x-1.
答案 D
5.(2014?山東卷)已知函數y=loga(x+c)(a,c爲常數,其中a>0,a≠1)的圖象如圖,則下列結論成立的'是??( ).
A.a>1,c>1
B.a>1,0
C.01
D.0
解析 依據對數函數的圖象和性質及函數圖象的平移變換求解.由對數函數的圖象和性質及函數圖象的平移變換知0
答案 D
6.(2016?浙江卷)已知x,y爲正實數,則?( ).
A.2lg x+lg y=2lg x+2lg y ?B.2lg(x+y)=2lg x?2lg y
C.2lg x?lg y=2lg x+2lg y ?D.2lg(xy)=2lg x?2lg y
解析 2lg x?2lg y=2lg x+lg y=2lg(xy).故選D.
答案 D
7.(2014?安徽卷)設a=log37,b=21.1,c=0.83.1,則?( ).
A.b
C.c
解析 利用“媒介”法比較大小.∵a=log37,∴12.∵c=0.83.1,∴0
答案 B
二、填空題
8.已知f(x)=ln(1+x)的定義域爲集合M,g(x)=2x+1的值域爲集合N,則M∩N=________.
解析 由對數與指數函數的知識,得M=(-1,+∞),N=(1,+∞),故M∩N=(1,+∞).
答案 (1,+∞)
9.(2014?大綱全國卷改編)奇函數f(x)的定義域爲R.若f(x+2)爲偶函數,且f(1)=1,則f(8)+f(9)=______________.
解析 由函數的奇偶性和對稱性推出週期性,利用週期性求函數值.因爲f(x)爲R上的奇函數,所以f(-x)=-f(x),f(0)=0.因爲f(x+2)爲偶函數,所以f(x+2)=f(-x+2),所以f(x+4)=f(-x)=-f(x),所以f(x+8)=f(x),即函數f(x)的週期爲8,故f(8)+f(9)=f(0)+f(1)=1.
答案 1
10.(2014?新課標全國Ⅰ卷)設函數f(x)=ex-1,x<1,x13, x≥1,則使得f(x)≤2成立的x的取值範圍是________.
解析 結合題意分段求解,再取並集.當x<1時,x-1<0,ex-1
答案 (-∞,8]
11.(2016?濟南模擬)已知函數f(x)=x3+x,對任意的m∈[-2,2],f(mx-2)+f(x)<0恆成立,則x的取值範圍是________.
解析 f′(x)=3x2+1>0,∴f(x)在R上爲增函數.
又f(x)爲奇函數,由f(mx-2)+f(x)<0知,f(mx-2)
令g(m)=mx+x-2,由m∈[-2,2]知g(m)<0恆成立,可得g?-2?=-x-2<0,g?2?=3x-2<0,∴-2
答案 -2,23
12.已知函數y=f(x)是R上的偶函數,對?x∈R都有f(x+4)=f(x)+f(2)成立.當x1,x2∈[0,2],且x1≠x2時,都有f?x1?-f?x2?x1-x2<0,給出下列命題:
①f(2)=0;
②直線x=-4是函數y=f(x)圖象的一條對稱軸;
③函數y=f(x)在[-4,4]上有四個零點;
④f(2 014)=0.
其中所有正確命題的序號爲________.
解析 令x=-2,得f(-2+4)=f(-2)+f(2),解得f(-2)=0,因爲函數f(x)爲偶函數,所以f(2)=0,①正確;因爲f(-4+x)=f(-4+x+4)=f(x),f(-4-x)=f(-4-x+4)=f(-x)=f(x),所以f(-4+x)=f(-4-x),即x=-4是函數f(x)的一條對稱軸,②正確;當x1,x2∈[0,2],且x1≠x2時,都有f?x1?-f?x2?x1-x2<0,說明函數f(x)在[0,2]上是單調遞減函數,又f(2)=0,因此函數f(x)在[0,2]上只有一個零點,由偶函數知函數f(x)在[-2,0]上也只有一個零點,由f(x+4)=f(x),知函數的週期爲4,所以函數f(x)在(2,6]與[-6,-2)上也單調且有f(6)=f(-6)=0,因此,函數在[-4,4]上只有2個零點,③錯;對於④,因爲函數的週期爲4,即有f(2)=f(6)=f(10)=…=f(2 014)=0,④正確.
答案 ①②④
三、解答題
13.已知函數f(x)=loga(x+1)(a>1),若函數y=g(x)的圖象上任意一點P關於原點對稱的點Q的軌跡恰好是函數f(x)的圖象.
(1)寫出函數g(x)的解析式;
(2)當x∈[0,1)時總有f(x)+g(x)≥m成立,求m的取值範圍.
解 (1)設P(x,y)爲g(x)圖象上任意一點,則Q(-x,-y)是點P關於原點的對稱點,因爲Q(-x,-y)在f(x)的圖象上,所以-y=loga(-x+1),
即y=-loga(1-x)(x<1).
(2)f(x)+g(x)≥m,
即loga1+x1-x≥m.
設F(x)=loga1+x1-x,x∈[0,1).
由題意知,只要F(x)min≥m即可.
因爲F(x)在[0,1)上是增函數,所以F(x)min=F(0)=0.
故m的取值範圍是(-∞,0].
14.已知二次函數f(x)=ax2+bx+1(a>0),F(x)=f?x?,x>0,-f?x?,x<0.若f(-1)=0,且對任意實數x均有f(x)≥0成立.
(1)求F(x)的表達式;
(2)當x∈[-2,2]時,g(x)=f(x)-kx是單調函數,求k的取值範圍.
解 (1)∵f(-1)=0,∴a-b+1=0,
∴b=a+1,
∴f(x)=ax2+(a+1)x+1.
∵f(x)≥0恆成立,
∴a>0,Δ=?a+1?2-4a≤0,
即a>0,?a-1?2≤0.
∴a=1,從而b=2,∴f(x)=x2+2x+1,
∴F(x)=x2+2x+1 ?x>0?,-x2-2x-1 ?x<0?.
(2)由(1)知,g(x)=x2+2x+1-kx=x2+(2-k)x+1.
∵g(x)在[-2,2]上是單調函數,
∴k-22≤-2或k-22≥2,
解得k≤-2或k≥6.
所以k的取值範圍是(-∞,-2]∪[6,+∞).
15.已知函數f(x)=ex-e-x(x∈R且e爲自然對數的底數).
(1)判斷函數f(x)的奇偶性與單調性;
(2)是否存在實數t,使不等式f(x-t)+f(x2-t2)≥0對一切x都成立?若存在,求出t;若不存在,請說明理由.
解 (1)∵f(x)=ex-1ex,且y=ex是增函數,y=-1ex是增函數,所以f(x)是增函數.由於f(x)的定義域爲R,且f(-x)=e-x-ex=-f(x),所以f(x)是奇函數.
(2)由(1)知f(x)是增函數和奇函數,∴f(x-t)+f(x2-t2)≥0對一切x∈R恆成立
?f(x2-t2)≥f(t-x)對一切x∈R恆成立
?x2-t2≥t-x對一切x∈R恆成立
?t2+t≤x2+x對一切x∈R恆成立
?t+122≤x+122min對一切x∈R恆成立
?t+122≤0?t=-12.
即存在實數t=-12,使不等式f(x-t)+f(x2-t2)≥0對一切x都成立.
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