九年級數學期中複習必備資料

初三數學總複習資料

三倍角公式推導

tan3α=sin3α/cos3α

=(sin2αcosα+cos2αsinα)/(cos2αcosα-sin2αsinα)

=(2sinαcos^2(α)+cos^2(α)sinα-sin^3(α))/(cos^3(α)-cosαsin^2(α)-2sin^2(α)cosα)

上下同除以cos^3(α)，得：

tan3α=(3tanα-tan^3(α))/(1-3tan^2(α))

sin3α=sin(2α+α)=sin2αcosα+cos2αsinα

=2sinαcos^2(α)+(1-2sin^2(α))sinα

=2sinα-2sin^3(α)+sinα-2sin^3(α)=3sinα-4sin^3(α)

cos3α=cos(2α+α)=cos2αcosα-sin2αsinα

=(2cos^2(α)-1)cosα-2cosαsin^2(α)

=2cos^3(α)-cosα+(2cosα-2cos^3(α))

=4cos^3(α)-3cosα

即

sin3α=3sinα-4sin^3(α)

cos3α=4cos^3(α)-3cosα

九年級下數學期中複習提綱

求根公式

二次函數表達式的右邊通常爲二次三項式。

求根公式

x是自變量，y是x的二次函數

x1,x2=[-b±(√(b^2-4ac))]/2a

(即一元二次方程求根公式)(如右圖)

求根的方法還有因式分解法和配方法

在平面直角座標系中作出二次函數y=2x的平方的圖像，

可以看出，二次函數的圖像是一條永無止境的拋物線。

不同的二次函數圖像

如果所畫圖形準確無誤，那麼二次函數將是由一般式平移得到的。

注意：草圖要有1本身圖像，旁邊註明函數。

2畫出對稱軸，並註明X=什麼

3與X軸交點座標，與Y軸交點座標，頂點座標。拋物線的性質

軸對稱

1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸爲直線x=-b/2a。

對稱軸與拋物線的交點爲拋物線的頂點P。

特別地，當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸(即直線x=0)

頂點

2.拋物線有一個頂點P，座標爲P(-b/2a，4ac-b^2;)/4a)

當-b/2a=0時，P在y軸上;當Δ=b^2;-4ac=0時，P在x軸上。

開口

3.二次項係數a決定拋物線的開口方向和大小。

當a>0時，拋物線向上開口;當a<0時，拋物線向下開口。

|a|越大，則拋物線的開口越小。

決定對稱軸位置的因素

4.一次項係數b和二次項係數a共同決定對稱軸的位置。

當a與b同號時(即ab>0)，對稱軸在y軸左;因爲若對稱軸在左邊則對稱軸小於0，也就是-b/2a<0,所以b/2a要大於0，所以a、b要同號

當a與b異號時(即ab<0)，對稱軸在y軸右。因爲對稱軸在右邊則對稱軸要大於0，也就是-b 2a="">0,所以b/2a要小於0，所以a、b要異號

可簡單記憶爲左同右異，即當a與b同號時(即ab>0)，對稱軸在y軸左;當a與b異號時(即ab<0)，對稱軸在y軸右。

事實上，b有其自身的幾何意義：拋物線與y軸的交點處的該拋物線切線的函數解析式(一次函數)的斜率k的值。可透過對二次函數求導得到。

決定拋物線與y軸交點的因素

5.常數項c決定拋物線與y軸交點。

拋物線與y軸交於(0，c)

拋物線與x軸交點個數

6.拋物線與x軸交點個數

Δ=b^2-4ac>0時，拋物線與x軸有2個交點。

Δ=b^2-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點。

_______

Δ=b^2-4ac<0時，拋物線與x軸沒有交點。X的取值是虛數(x=-b±√b^2-4ac的值的相反數，乘上虛數i，整個式子除以2a)

當a>0時，函數在x=-b/2a處取得最小值f(-b/2a)=4ac-b2/4a;在{x|x<-b/2a}上是減函數，在

{x|x>-b/2a}上是增函數;拋物線的開口向上;函數的值域是{y|y≥4ac-b^2/4a}相反不變

當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸，這時，函數是偶函數，解析式變形爲y=ax^2+c(a≠0)

特殊值的形式

7.特殊值的形式

①當x=1時y=a+b+c

②當x=-1時y=a-b+c

③當x=2時y=4a+2b+c

④當x=-2時y=4a-2b+c

二次函數的性質

8.定義域：R

值域：(對應解析式，且只討論a大於0的情況，a小於0的情況請讀者自行推斷)①[(4ac-b^2)/4a，

正無窮);②[t，正無窮)

奇偶性：當b=0時爲偶函數，當b≠0時爲非奇非偶函數。

週期性：無

解析式：

①y=ax^2+bx+c[一般式]

⑴a≠0

⑵a>0，則拋物線開口朝上;a<0，則拋物線開口朝下;

⑶極值點：(-b/2a，(4ac-b^2)/4a);

⑷Δ=b^2-4ac,

Δ>0，圖象與x軸交於兩點：

([-b-√Δ]/2a，0)和([-b+√Δ]/2a，0);

Δ=0，圖象與x軸交於一點：

(-b/2a，0);

Δ<0，圖象與x軸無交點;

②y=a(x-h)^2+k[頂點式]

此時，對應極值點爲(h，k)，其中h=-b/2a，k=(4ac-b^2)/4a;

③y=a(x-x1)(x-x2)[交點式(雙根式)](a≠0)

對稱軸X=(X1+X2)/2當a>0且X≧(X1+X2)/2時，Y隨X的增大而增大，當a>0且X≦(X1+X2)/2時Y隨X

的增大而減小

此時，x1、x2即爲函數與X軸的兩個交點，將X、Y代入即可求出解析式(一般與一元二次方程連

用)。

交點式是Y=A(X-X1)(X-X2)知道兩個x軸交點和另一個點座標設交點式。兩交點X值就是相應X1X2值。

26.2用函數觀點看一元二次方程

1.如果拋物線與x軸有公共點，公共點的橫座標是，那麼當時，函數的值是0，因此就是方程的一個根。

2.二次函數的圖象與x軸的位置關係有三種：沒有公共點，有一個公共點，有兩個公共點。這對應着一元二次方程根的三種情況：沒有實數根，有兩個相等的實數根，有兩個不等的實數根。

26.3實際問題與二次函數

在日常生活、生產和科研中，求使材料最省、時間最少、效率等問題，有些可歸結爲求二次函數的值或最小值。

九年級上冊數學期中考試卷人教版

一、選擇題(本部分共30分。每小題3分，共10小題，合計 )

1、方程x -4=0的解是( )

A、4 B 、±2 C、2 D、-2

2、下列圖案中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是( )

3、一元二次方程 的根的情況爲( )

A.有兩個相等的實數根 B.有兩個不相等的實數根

C.只有一個實數根 D.沒有實數根

4、如圖，△ABC中，AB=AC=8，BC=6，AD平分∠BAC交BC於點D，點E爲AC的中點，連接DE，則△CDE的周長爲( )

A、10 B、11 C、12 D、13

5、爲了改善居民住房條件，某市計劃用未來兩年的時間，將城鎮居民的住房面積由現在的人均約爲 提高到 若每年的年增長率相同，則年增長率爲( )

A、 B、 C、 D、 ﹪

6、平面直角座標系內一點p(-2,3)關於原點對稱點的座標是( )

A、(3，-2) B 、(2，3) C、(-2，-3) D、(2，-3)

7、下圖是一個五環圖案，它由五個圓組成，下排的兩個圓的'位置關係是( )

A、相交 B 、相切 C、內含 D、外離

8、如圖，DC 是⊙O的直徑，弦AB⊥CD於F，連結BC，DB，

則下列結論錯誤的是( )

=BD =BF =CF D.∠DBC=90°

9、某正方形園地是由邊長爲1的四個小正方形組成的，現要在園地上建一個花壇(陰影部分)使花壇面積是園地面積的一半，以下圖中設計不合要求的是( ).

10、如果一個三角形的其中兩邊長分別是方程 的兩個根，那麼連結這個三角形三邊的中點，得到的三角形的周長可能是( )

A.5.5 B.5 C.4.5 D.4

二、填空題(本部分共24分。每小題4分，共6小題，合計 )

11、一元二次方程x2=3x的解是： .

12、蔬菜基地建圓弧形蔬菜大棚的剖面如右圖所示，已知AB=16m，半徑 OA=10m，高度CD爲 m.

13、如圖，AB、AC與⊙O相切於點B、C，∠A=50゜，P爲⊙O上異於B、C的一個動點，則∠BPC的度數爲 .

14、如圖，在Rt△OAB中，∠AOB=30°，將△OAB繞點O逆時針旋轉100°

得到△OA1B1，則∠A1OB= .

15已知方程x -3x+k=0有兩個相等的實數根，則k= .

16、如圖，四邊形ABCD是菱形，∠A=60°，AB=2，扇形BEF的半徑爲2，

圓心角爲60°，則圖中陰影部分的面積是 .

三、解答題(一)(本部分共18分。每小題6分，共3小題，合計 )

17、解下列一元二次方程.

(1)x2﹣5x+1=0; (2)3(x﹣2)2=x(x﹣2).

18、已知關於 的一元二次方程 .

(1)當m=3時，判斷方程的根的情況; (2)當m=-3時，求方程的根.

19、如圖，在⊙O中，CD爲直徑，AB爲弦，且CD平分AB於E，OE=3cm，AB=8cm

求：⊙O的半徑.

四、解答題(二)(本部分共21分。每小題7分，共3小題，合計 )

20、如圖，在 正方形網格中，每個小正方形的邊長均爲1個單位.將 向下平移4個單位，得到 ，再把 繞點 順時針旋轉 ，得到 ，

請你畫出 和 (不要求寫畫法).

21、如圖AB是⊙o 的直徑，C是⊙o 上的一點，若AC=8㎝，AB=10㎝，OD⊥BC於點D，求BD的長?

22、現有一塊長20cm，寬10cm的長方形鐵皮，在它的四個角分別剪去一個大小完全相同的小正方形，用剩餘的部分做成一個底面積爲56cm2的無蓋長方體盒子，請求出剪去的小正方形的邊長.

五、解答題(三)(本部分共27分。每小題9分，共3小題，合計 )

23、學校要把校園內一塊長20米，寬12米的長方形空地進行綠化，計劃中間種花，四周留出寬度相同的地種草坪，且花壇面積爲180平方米，求草坪的寬度。

24、△ABC的內切圓⊙o與BC,CA,AB分別相切於點D、E、F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，求AF、BD、CE的長?

25、如圖，AB是⊙O的直徑，∠BAC=45°,AB=BC.

(1)、求證：BC是⊙O的切線;

(2)、設陰影部分的面積爲a,b, ⊙O的面積爲S，請寫出S與a,b的關係式。