數的概念的發展教案

數的概念的發展

教學目標

(1)瞭解數的概念發展的過程和動力;

1.教材分析

(1)知識結構

首先簡明扼要地對已經學過的數集因生產與科學發展的需要而逐步擴充的過程作了概括;然後說明,數集的每一次擴充,對數學學科本身來說,也解決了原有數集中某種運算不是永遠可以實施的矛盾,使得某些代數方程在新的數集中能夠有解。從而引出虛數單位i及其性質,接着,將數的範圍擴充到複數,並指出複數後來由於在科學技術中得到應用而進一步發展。

自然數 整數 有理數 無理數

②從解方程的需要推進數的發展

負數 分數 無理數 虛數

(2)重點、難點分析

(一)熟悉數的概念的發展的動力

從正整數擴充到整數,從整數擴充到有理數,從有理數擴充到實數,數的概念是不斷髮展的,其發展的動力來自兩個方面。

①解決實際問題的需要

由於計數的需要產生了自然數;爲了表示具有相反意義的量的需要產生了整數;由於測量的需要產生了有理數;由於表示量與量的比值(如正方形對角線的長度與邊長的比值)的需要產生了無理數(既無限不循環小數)。

②解方程的需要。

爲了使方程 有解,就引進了負數;爲了使方程 有解,就要引進分數;爲了使方程 有解,就要引進無理數。

引進無理數後,我們已經能使方程 永遠有解,但是,這並沒有徹底解決問題,當 時,方程 在實數範圍內無解。爲了使方程 ( )有解,就必須把實數概念進一步擴大,這就必須引進新的數。

(二)注重數的概念在擴大時要遵循的原則

第一,要能解決實際問題中或數學內部的矛盾。現在要解決的就是在實數集中,方程 無解這一矛盾。

第二,要儘量地保留原有數集(現在是實數集)的性質,非凡是它的運算性質。

(三)正確確熟悉數集之間的關係

①有理數就是一切形如 的數,其中 ,所以有理數集實際就是分數集.

②“循環節不爲0的循環小數也都是有理數”.

③{有理數}={分數}={循環小數},{實數}={小數}.

④自然數集N、整數集Z、有理數集Q、實數集R、複數集C之間有如下的包含關係:

教法建議

(1)注重知識的連續性:數的發展過程是漫長的,每一次發展都來自於生產、生活和計算等需要,所以在教學時要注重使學生熟悉到數的發展的兩個動力.

(2)創造良好的課堂氣氛:由於本節課要了解擴充實數集的必要性,所以,教師可以多向學生介紹一些數的發展過程中的一些科學史,課堂學習的氣氛可以營造成一種師生共同研究、共同交流的氣氛。

數的概念的發展

教學目的

1.使學生了解數是在人類社會的生產和生活中產生和發展起來的,瞭解虛數產生歷史過程;

2.理解並把握虛數單位的定義及性質;

3.把握複數的定義及複數的分類.

教學重點

虛數單位的定義、性質及複數的分類.

教學難點

虛數單位的性質.

教學過程

一、複習引入

原始社會,由於計數的需要產生了自然數的概念,隨着文字的產生和發展,出現了記數的符號,進而建立了自然數的概念。自然數的全體構成自然數集.

爲了表示具有相反意義的量引進了正負數以及表示沒有的零,這樣將數集擴充到有理數集

有些量與量之間的比值,如用正方形的邊長去度量它的對角線所得的結果,無法用有理數表示,爲解決這種矛盾,人們又引進了無理數,有理數和無理數合併在一起,構成實數集.

數的概念是人類社會的生產和生活中產生和發展起來的,數學理論的研究和發展也推動着數的概念的發展,數已經成爲現代社會生活和科學技術時刻離不開的科學語言和工具.

二、新課教學

(一)虛數的產生

我們知道,在實數範圍內,解方程 是無能爲力的,只有把實數集擴充到複數集才能解決.對於複數 (a、b都是實數)來說,當 時,就是實數;當 時叫虛數,當 時,叫做純虛數.可是,歷史上引進虛數,把實數集擴充到複數集可不是件輕易的事,那麼,歷史上是如何引進虛數的呢?

16世紀意大利米蘭學者卡當(1501—1576)在1545年發表的《重要的藝術》一書中,公佈了三次方程的一般解法,被後人稱之爲“卡當公式”.他是第一個把負數的平方根寫到公式中的數學家,並且在討論是否可能把10分成兩部分,使它們的乘積等於40時,他把答案寫成 ,儘管他認爲 和 這兩個表示式是沒有意義的、想象的、虛無飄渺的,但他還是把10分成了兩部分,並使它們的乘積等於40.給出“虛數”這一名稱的是法國數學家笛卡爾(1596—1650),他在《幾何學》(1637年發表)中使“虛的數’‘與“實的數”相對應,從此,虛數才流傳開來.

數系中發現一顆新星——虛數,於是引起了數學界的一片困惑,很多大數學家都不承認虛數.德國數學家菜不尼茨(1664—1716)在1702年說:“虛數是神靈遁跡的精微而奇異的隱避所,它大概是存在和虛妄兩界中的兩棲物”.瑞士數學大師歐拉(1707—1783)說:“一切形如 , 習的數學式子都是不可能有的,想象的數,因爲它們所表示的'是負數的平方根.對於這類數,我們只能斷言,它們既不是什麼都不是,也不比什麼都不是多些什麼,更不比什麼都不是少些什麼,它們純屬虛幻.”然而,真理性的東西一定可以經得住時間和空間的考驗,最終佔有自己的一席之地.法國數學家達蘭貝爾(.1717—1783)在 1747年指出,假如按照多項式的四則運算規則對虛數進行運算,那麼它的結果總是 的形式(a、b都是實數)(說明:現行教科書中沒有使用記號 而使用 ).法國數學家棣莫佛(1667—1754)在1730年發現公式了 ,這就是聞名的探莫佛定理.歐拉在 1748年發現了有名的關係式 ,並且是他在《微分公式》(1777年)一文中第一次用i來表示1的平方根,首創了用符號i作爲虛數的單位.“虛數”實際上不是想象出來的,而它是確實存在的.挪威的測量學家未塞爾(1745—1818)在1779年試圖給於這種虛數以直觀的幾何解釋,並首先發表其作法,然而沒有得到學術界的重視.

德國數學家高斯(1777—1855)在 1806年公佈了虛數的圖象表示法,即所有實數能用一條數軸表示,同樣,虛數也能用一個平面上的點來表示.在直角座標系中,橫軸上取對應實數a的點A,縱軸上取對應實數b的點B,並過這兩點引平行於座標軸的直線,它們的交點C就表示複數 .象這樣,由各點都對應複數的平面叫做“複平面”,後來又稱“高斯平面”.高斯在1831年,用實數組(a,b)代表複數 ,並建立了複數的某些運算,使得複數的某些運算也象實數一樣地“代數化”.他又在1832年第一次提出了“複數”這個名詞,還將表示平面上同一點的兩種不同方法——直角座標法和極座標法加以綜合.統一於表示同一複數的代數式和三角式兩種形式中,並把數軸上的點與實數—一對應,擴展爲平面上的點與複數—一對應.高斯不僅把複數看作平面上的點,而且還看作是一種向量,並利用複數與向量之間—一對應的關係,闡述了複數的幾何加法與乘法.至此,複數理論才比較完整和系統地建立起來了.

經過許多數學家長期不懈的努力,深刻探討並發展了複數理論,才使得在數學領域遊蕩了200年的幽靈——虛數揭去了神祕的面紗,顯現出它的本來面目,原來虛數不虛呵.虛數成爲了數系大家庭中一員,從而實數集才擴充到了複數集.

隨着科學和技術的進步,複數理論已越來越顯出它的重要性,它不但對於數學本身的發展有着極其重要的意義,而且爲證實機翼上升力的基本定理起到了重要作用,並在解決堤壩滲水的問題中顯示了它的威力,也爲建立巨大水電站提供了重要的理論依據.

(二)、虛數單位

規定i叫虛數單位,並規定:實數與它進行四則運算時,原有的加、乘運算律仍然成立