高中數學函數的單調性的教學設計

【教學目標】

1.知識與技能：從形與數兩方面理解函數單調性的概念，掌握利用函數圖象和定義判斷、證明函數單調性的方法步驟。

2.過程與方法：透過觀察函數圖象的變化趨勢——上升或下降，初步體會函數單調性，然後數形結合，讓學生嘗試歸納函數單調性的定義，並能利用圖像及定義解決單調性的證明。

3.情感、態度與價值觀：在對函數單調性的學習過程中，讓學生感知從具體到抽象，從特殊到一般，從感性到理性的認知過程，增強學生由現象猜想結論的能力。

　【教學重點】 函數單調性的概念、判斷。

【教學難點】 根據定義證明函數的單調性。

【教學方法】 教師啓發講授，學生探究學習。

【教學工具】 教學多媒體。

【教學過程】

一、創設情境，引入課題

師：同學們剛剛從樓下走到了教室，如果把每一個樓梯的臺階都標上數字

，我們一起來描述一下從樓下走到教室這一過程中，同學們的位置變化。

生：隨着樓梯臺階標號的增大，我們所處的位置在不斷地上升。

師：(積極反饋，全班鼓掌表揚)反之，我們下樓時，我們的位置顯然是在下降的。

師：(閱讀教材，人教

版

節首內容，引導學生看圖

)結合上下樓的問題，引導學生識圖，捕捉資訊，啓發學生思考。

觀察圖

中的函數圖象，隨着函數自變量

的增大(減小)，你能得到什麼資訊?

二、歸納探索，形成概念

我們在學習函數概念時，瞭解了函數的定義域及值域，本節內容其實就是針對自變量與函數值之間的變化關係進行的專題研究之一──函數單調性的研究。

同學們在初中已經對函數隨着自變量取值的變化函數值相應的變化情況有了一定的認識，但是沒有嚴格的定義，今天我們的任務就是透過形象的函數圖象變化情況，爲函數單調性建立嚴格定義。

1.藉助圖象，直觀感知

首先，我們來研究一次函數

和二次函數

的單調性。

師：在沒有學習函數單調性的嚴格定義之前，函數的單調性可以理解爲，

師：根據圖象，請同學們寫出你對這兩個函數單調性的描述。

生：(獨立完成，小組內互相檢查，然後閱讀教材，對比參照)。

2.抽象思維，形成概念

函數的性質離不開函數的定義域，在研究函數單調性時，我們也必須充分考慮到這一點，

在函數的定義區間上描述隨着自變量

值的變化，函數值

的變化情況。

師：思考，如何利用函數解析式

來描述函數隨着自變量

值的變化，函數值

的變化情況?(注意函數的定義區間)

生：在

上，隨着自變量

值的增大，函數值

逐漸減小;在

上，隨着自變量

值的增大，函數值

逐漸增大。

師：如果給出函數

，你能用準確的數學符號語言表述出函數單調性的定義嗎?

生：(師生共同探究，得出增函數嚴格的定義)一般地，設函數

的定義域爲

：

①如果對於定義域上某個區間

上的任意兩個自變量的值

，當

時，都有

，那麼就說函數

在區間

上是增函數;

②如果對於定義域上某個區間

上的任意兩個自變量的值

，當

時，都有

，那麼就說函數

在區間

上是減函數。

三、掌握證法，適當延展

【例1】下圖是定義在區間

上的`函數

，根據圖象說出函數的單調區間，以及在每一單調區間上，它是增函數還是減函數?

【例2】物理學中的玻意耳定律

(

爲正常數)告訴我們，對於一定量的氣體，當其體積

減小時，壓強

將增大。試用函數的單調性證明之。

師：在解決完成這個例題後，根據解題步驟歸納總結用定義證明函數單調性的一般性算法步驟：設元、作差、變形、斷號、定論。

四、歸納小結，提高認識

學生交流在本節課學習中的體會、收穫，交流學習過程中的體驗和感受，共同完成小結。

(1) 利用圖象判斷函數單調性;

(2) 利用定義判斷函數單調性;

(3) 證明方法和步驟：設元、作差、變形、斷號、定論。

五、佈置作業，拓展探究

課後探究：研究函數

的單調性。

六、板書設計

函數的單調性

一、創設情境，引入課題

二、歸納探索，形成概念

三、掌握證法，適當延展

四、歸納小結，提高認識

七、教學反思

在有限的課堂時間，使學生掌握利用數形結合的思想方法準確理解函數單調性的有關概念，加深對基本概念的認識。首先，展示一個學生都熟悉無比的情境，在這個情境中讓學生直觀地理解上升(遞增)或下降(遞減)的現象，然後針對課本所給的三個圖象，結合情境中的直觀現象，讓學生描述這三個函數圖象的特徵。學生在描述函數圖象特徵(上升或下降)的時候較爲順利，但總覺得有錯誤，可又說不清理由。此時，教師指出：在敘述函數圖像特徵時要按照一定的標準，即觀察的順序應沿x軸正方向，自變量從左向右變化時，函數值(圖像)的變化趨勢，這樣即可得到正確答案。學生在理解錯誤原因過程中亦得到了正確的研究方法。接下來，單刀直入地提出函數的單調性這個函數的性質。在直觀上承認這一性質以後，由學生按學習小組，仿照剛纔的分析去研究一次函數和二次函數的單調性。繼而提出：圖象特徵如何轉化爲數學語言?經過學生探究思考，教師啓發，學生歸納總結函數單調性的定義。結合圖像，學生透過自主合作探索，自己給出了函數單調性的定義。然後讓學生開啟書本，與書上的表述比較，肯定他們的成果，並提示注意書本敘述的精確用語。本課學生印象深刻，理解深入，合作探究激發了學生的內驅力與自信心。