圓周角的教學設計

教學目標

1、 理解圓周角的概念，掌握圓周角定理及其推論，並會運用它進行論證和計算.

2、 經歷圓周角定理的證明，使學生了解分類證明命題的思想和方法，體會類比、分類的教學方法.

3、 透過學生主動探索圓周角定理及其推論，合作交流的學習過程，學習成長的快樂及數學的應用價值.

教學重點難點

教學重點 圓周角的概念、圓周角定理及其應用.

教學難點 圓周角定理的分類證明.

教學過程

一、情境匯入

足球場上的數學 在足球比賽中，甲帶球向對方球門PQ進攻,當他衝到A點時，同伴乙已經衝到B點.有兩種射門方式：第一種是甲直接射門;第二種是甲將球傳給乙，由乙射門.問哪一種射門方式進球的可能性大?(提示：僅從射門角度考慮，射門角度越大越好.)

設計意圖：讓學生感受到生活之中的數學問題，激發學習興趣.

二、自我探究

1、圓周角的概念

觀察圖形 APB的頂點P從圓心O移動到圓周上(電腦動畫).

教師指出APB是圓周角.由圓心角順利遷移到圓周角.

學生對比圓心角的定義，嘗試給出圓周角的定義：頂點在圓上，並且兩邊都和圓相交的角，叫圓周角.

辨析概念 判別下列各圖形中的角是不是圓周角，並說明理由.

思考特徵 圓周角具有什麼特徵?

明確結論：①頂點在圓上;②兩邊都和圓相交.

設計意圖：讓學生能形象地感知圓周角，理解圓周角概念。

2、合作交流，動手操作

學生先動手畫圓周角，再相互交流、比較，探究圓心與圓周角的位置關係，並請學生代表上講臺用投影展示交流成果.教師再利用電腦，動畫展示圓心與圓周角可能具有的不同的位置關係，並由學生歸納出圓心與圓周角具有三種不同的位置關係：

① 圓心在圓周角的一邊上;

② 圓心在圓周角的內部;

③ 圓心在圓周角的外部.

設計意圖：學生動手畫圓周角，進一步熟悉圓周角，另一方面，預先探究出圓心與圓周角的三種位置關係，將難點分散，爲後面證明圓周角定理作鋪墊，降低證明難度.

3、實驗探究

探究問題 同弧所對的圓周角與圓心角有什麼關係?

試驗操作

學生利用手中學案，當圓心角分別是銳角(450)、鈍角(1100)和平角(1800)時，動手測量出弧BC所對的圓周角BAC和BDC的度數，比較它們的大小，然後在優弧BAC上任意取一點E，測量BEC的度數，探究同弧所對的圓周角與圓心角的關係.

猜想結論 同弧所對的圓周角等於它所對的圓心角的一半.

電腦驗證 教師改變圓心角BOC的度數，再透過電腦測量弧AB所對的圓周角BAC和BDC的度數，進一步驗證學生的猜想.

設計意圖：學生合作交流，探究並猜想同弧所對的圓周角與圓心角的數量關係，教師再透過電腦測量來驗證，讓學生進一步明確它們之間的關係.

4、證明定理

命題分析 命題：(電腦顯示)同弧所對的圓周角等於它所對的圓心角的一半.

學生說出已知、求證.

問題：圓心與圓周角的'三種位置關係中，哪一種位置關係最特殊?此時你能不能證明A= BOC?

三種情況：

第一種情況：圓心在圓周角一邊上;

第二種情況：圓心在圓周角的內部;

第三種情況：圓心在圓周角的外部。

定理證明 學生證明第一種情形(圓心在圓周角的一邊上的情形)：

作直徑AD.

∵OA=OC

A=C

又∵BOC=C

BOC=2A

即A= BOC

利用基本圖形(小紅旗)及其對應的基本結論，引導學生證明當圓心在圓周角內部時的情形：

∵BAD= BOD，CAD= COD

BAD+CAD= BOD+ COD

即BAC= BOC

情形(3)的證明推導，學生自己完成，教師用電腦展示.

電腦動畫展示：等圓中等弧的問題透過移動、旋轉轉化爲同圓中中同弧的問題，從而得到圓周角定理：

圓周角定理 在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等於這條弧所對的圓心角的一半.

進一步，由學生分析出，當圓心角是180時，圓周角爲90，再透過電腦動畫展示，當圓心角逐漸變爲180時，對應的圓周角變爲90，從而得到圓周角定理的推論：

圓周角定理推論 半圓(或直徑)所對的圓周角是直角，90的圓周角所對的弦是直徑.

設計意圖：教師引導，學生證明出圓周角定理及其推論，驗證其猜想的正確性，激發學生學習數學的興趣與成就感.

三、應用鞏固

例1 如圖，如果A=60，則BOD=____，BDC=____

例2 如圖，點A、B、C、D在同一個圓上，四邊形ABCD的對角線把4個內角分成8個角，這些角中哪些是一定相等的角?

拓展 若2=60，判斷△BCD的形狀並證明你的結論.

設計意圖：及時鞏固本節課所學的核心知識，並注重知識的延伸，拓寬學生思維的深度和廣度.

四、解決問題：

解決問題情境中的足球問題：過點P 、B、Q三點作圓，建立相應數學模型，學生分析題意，給出問題的答案：

解法1：連結PD.

∵PDQ, A

A

將球傳給乙,讓乙射門好.

解法2：連結CQ.

∵PCQ, A

A

將球傳給乙,讓乙射門好.

設計意圖：學以致用，數學來源於生活，服務於生活，運用數學解決問題.

五、總結拓展

1.本節學習的數學知識是圓周角的定義和圓周角定理及其推論.

2.本節學習的數學思想是分類討論和轉化思想.

設計意圖：自我總結反思自己本節課的收穫，養成良好的學習習慣。

六、作業鞏固

設計意圖：數學是做出來的，即要學又要練。運用本節課所學知識進行檢測與反饋，進一步鞏固、掌握所學新識