數學立方根教案

立方根

●教學目標

(一)教學知識點

1.瞭解立方根的概念，會用根號表示一個數的立方根.

2.能用立方運算求某些數的立方根，瞭解開立方與立方互爲逆運算.

3.瞭解立方根的性質.

4.區分立方根與平方根的不同.

(二)能力訓練要求

1.在學了平方根的基礎上，要求學生能用類比的方法學習立方根的有關知識，領會類比思想.

2.發展學生的求同求異思維，使他們能在複雜環境中明辨是非.

(三)情感與價值觀要求

當今社會是科學飛速發展、資訊千變萬化的時代，每一個人都不可能把一生中要接觸的知識全部學會，因此讓他們會學知識比學會知識更重要，這就要從小培養良好的學習習慣，能自己解決的問題就自己解決，其中類比的學習方法就是一種重要的學習方法，本節課重點訓練學生的類比思想的養成.

●教學重點

立方根的概念.

●教學難點

1.正確理解立方根的概念.

2.會求一個數的立方根.

3.區分立方根與平方根的不同之處.

●教學方法

類比學習法.

●教具準備

投影片兩張：

第一張：平方根與立方根的聯繫與區別(記作2.3 A);

第二張：補充練習(記作2.3 B).

●教學過程

Ⅰ.新課匯入

上節課我們學習了平方根的定義，若x2=a，則x叫a的平方根，即x= .

若正方體的棱長爲a，體積爲8，根據正方體體積的公式得a3=8，那a叫8的什麼呢?本節課請大家根據上節課的內容自己來類推出結論，若x3=a，則x叫a的什麼呢?

Ⅱ.新課講解

1.[師]請大家先回憶平方根的定義.

[生]若一個數x的平方等於a，即x2=a，則x叫a的平方根.

[師]在平方根定義的基礎上，若x3=a，則x叫a的什麼呢?請大家自己猜想然後討論得出結果.

[生]因爲x2=a，x叫a的平方根，所以當x的立方等於a時，x叫a的立方根.

[師]當x4=a時，x叫a的什麼根呢?

[生]當x的4次方等於a時，x叫a的4次方根.

[師]大家應爲這位同學的精彩回答而鼓掌.下面大家能不能再根據平方根的寫法來類推立方根的記法呢?

[生]能.若x的平方等於a，則x叫a的平方根，記作x= ，讀作x等於正、負二次根號a，簡稱爲x等於正，負根號a.若x的立方等於a，則x叫a的立方根，記作x= ，讀作x等於正、負三次根號a，簡稱x等於正、負根號a.

[師]請大家對這位同學的回答展開討論，小組總結後選代表發言.

[生甲]我認爲這位同學回答得不對.如果x2=a，則x= ，x3=a時，x= 也成立的話，那如何區分平方根與立方根呢?

[生乙]因爲乘方與開方是互爲逆運算，求立方根可透過逆運算立方來求，如x3=8，因爲23=8，所以x=2，只有一個根而不是2，所以立方根的個數不正確.

[師]大家的分析非常有道理，請認真看書第13、14頁可知，若一個數x的立方等於a，即x3=a，那麼這個數x就叫做a的立方根(cube root;也叫三次方根)如2是8的立方根，記爲x= ，讀作x等於三次根號a.

開立方的定義

[師]大家先回憶開平方的定義，再類推開立方的定義.

[生]求一個數a的平方根的運算，叫做開平方，則求一個數a的立方根的運算，叫做開立方，其中a叫做被開方數.

(2)立方根的性質

[師]2的立方等於多少?是否有其他的數，它的立方也是8?

[生]2的立方等於8，(-2)3=-8，所以沒有其他的數的立方等於8.

[師]-3的立方等於多少?是否有其他的數，它的立方也是-27?

[生]-3的立方等於-27，33=27，所以沒有其他的數的立方等於-27.

[師]0的立方等於多少?0有幾個立方根?

[生]0的立方等於0，0有1個立方根是0.

[師]從剛纔的討論中，大家總結一下正數有幾個立方根?0有幾個立方根?負數有幾個立方根?

[生]正數有一個立方根，0有一個立方根是0，負數有一個立方根.

[師]對.正數有一個正的立方根、負數有一個負的立方根，0的立方根有一個，是0.

(3)平方根與立方根的區別與聯繫.

[師]我們已經學習了平方根與立方根的定義，並會求某些數的平方根和立方根，下面請大家說說它們的聯繫與區別.

[生]從定義來看，若一個數x的平方等於a，即x2=a，則x叫a的平方根;若一個數x的立方等於a，即x3=a，則x叫a的立方根，都是一個數x的乘方等於a，但一個是平方，另一個是立方.

[生]一個正數的平方根有兩個，一個負數沒有平方根，零的平方根有一個是零;一個正數的立方根有一個，並且是正數，一個負數有一個負的立方根，零的立方根有一個是零.

[生]它們的表示方法和讀法不同，一個正數a的平方根表示爲 ，立方根表示爲 .

[師]很好.大家現在已經具備了一定的`分析判斷能力，這對大家以後的學習和工作非常有幫助，繼續發揚下去，你們都將前途無量，下面我再系統地總結一下.

投影片：(2.3 A)

平方根與立方根的聯繫與區別.

聯繫：

(1)0的平方根、立方根都有一個是0.

(2)平方根、立方根都是開方的結果.

區別：

(1)定義不同：如果一個數的平方等於a，這個數就叫做a的平方根如果一個數的立方等於a，這個數就叫做a的立方根.

(2)個數不同：一個正數有兩個平方根，一個正數有一個立方根;一個負數沒有平方根，一個負數有一個立方根.

(3)表示法不同

正數a的平方根表示爲 ，a的立方根表示爲 .

(4)被開方數的取值範圍不同

中的被開方數a是非負數; 中的被開方數可以是任何數.

2.例題講解

[例1]求下列各數的立方根：

(1)-27;(2) ;(3)0.216;(4)-5.

解：(1)因爲(-3)3=-27，所以-27的立方根是-3，即 =-3;

(2)因爲( )3= ，所以 的立方根是 ，即 = ;

(3)因爲0.63=0.216，所以0.216的立方根是0.6，即 =0.6;

(4)-5的立方根是 .

[師]請大家思考下列問題.

表示a的立方根，則( )3等於什麼? 等於什麼?

大家可以先舉例後找規律.

[生]∵23=8， =2，( )3=8;

∵(-2)3=-8，

=-2;( )3=-8;

∵( )3= ，

∵(- )3=- ，

( )3=a.

[師]若x3=a，則x= ，x3=( )3=a.

( )3=a.

又∵a3是a的立方,所以a3的立方根就是a，所以 =a.下面就這兩個式子進行練習.

[例2]求下列各式的值：

(1) ;(2) ;(3)- ;(4)( )3

解：(1) = =-2;

(2) = ;

(3) = ;

(4)( )3=9.

Ⅲ.課堂練習

(一)隨堂練習

1.求下列各式的值：

解： ;

2.一個正方體，它的體積是棱長爲3釐米的正方體體積的8倍，這個正方體的棱長是多少?

解：設正方體的棱長是x釐米，得

x3=833

x3=216

x=6(釐米)

答：這個正方體的棱長是6釐米.

(二)補充練習

投影片：(2.3 B)

1.求下列各數的立方根：

0，1，- ，6，- ，0.001

2.求下列各式的值：

3.下列說法對不對?

-4沒有立方根;

1的立方根是

的立方根是 ;

-5的立方根是- ;

64的算術平方根是8.

1.解：因爲03=0，所以0的立方根爲0.

即 =0;

因爲13=1，所以1的立方根爲1.

即 =1;

因爲 的立方根爲 .

即 ;

6的立方根爲 ;

∵- 的立方根爲- ，即 ;

∵0.13=0.001，所以0.001的立方根爲0.1，即 =0.1.

2.解： ;

3.答案：錯.因爲負數也有立方根;

錯.因爲1的立方根是1;

錯. 的立方根是 ，平方根是

對.-5的立方根是 ，- ;

對.

Ⅳ.議一議

1.某化工廠使用一種球形儲氣罐儲藏氣體.現在要造一個新的球形儲氣罐，如果它的體積是原來的8倍，那麼它的半徑是原儲氣罐半徑的多少倍?

解：設原來的球形儲氣罐的半徑爲r1，後來的儲氣罐的半徑爲r2，由球體積公式V= r3得

8r13= r23

8r13=r23

(2r1)3=r23

r2=2r1

即新儲氣罐的半徑是舊儲氣罐半徑的2倍.

2.一個正方體的體積變爲原來的n倍，它的棱長變爲原來的多少倍?

解：設原正方體的棱長爲a，後來的正方體的棱長爲b，得

na3=b3

b= .

即後來的棱長變爲原來的 倍.

Ⅴ.課時小結

本節課學瞭如下內容：

1.立方根的定義.

2.立方根的性質.

3.開立方的定義.

4.平方根與立方根的區別與聯繫.

5.會求一個數的立方根.

Ⅵ.課後作業

習題2.5.

Ⅶ.活動與探究

1.求下列各式中的x.

(1)8x3+27=0;

(2)(x-1)3-0.343=0;

(3)81(x+1)4=16;

(4)32x5-1=0.

分析：先把每一個式子都化成x3= 的形式，然後再根據平方根或立方根的定義來求，

解：(1)由8x3+27=0.8x3=-27

x3=

(2)由(x-1)3-0.343=0

(x-1)3=0.343

x-1= =0.7

x=1.7;

(3)由81(x+1)4=16

(x+1)4=

x+1=

x= -1x=- 或x=- ;

(4)由32x5-1=0

x5=

x= .

2.求滿足 +1=x的x的值.

解： =x-1

x-1=-1或x-1=0或x-1=1

x=0或x=1或x=2

3.計算

(1)- ;

(2) .

解：(1) ;

(2)

=- .

●板書設計

2.3 立方根

一、(1)立方根開立方的定義

(2)立方根的性質

(3)立方根與平方根的聯繫與區別

二、例題講解(求立方根)

三、練習

四、議一議

五、小結

六、作業