高中數學推理與證明基本簡介
高中數學推理與證明基本簡介
一、考點(限考)概要:
1、推理:
(1)合情推理:歸納推理和類比推理都是根據已有事實,經過觀察、分析、比較、聯想,在進行歸納、類比,然後提出猜想的推理,稱爲合情推理,高中數學推理與證明。
①歸納推理:
ⅰ定義:由某類食物的部分對象具有某些特徵,推出該類事物的全部對象都具有這些特徵的推理,或者有個別事實概括出一般結論的推理,稱爲歸納推理,簡稱歸納。
ⅱ特點:
*歸納是依據特殊現象推斷一般現象,因而,由歸納所得的結論超越了前提所包容的範圍;
*歸納是依據若干已知的、沒有窮盡的現象推斷尚屬未知的現象,因而結論具有猜測性;
*歸納的前提是特殊的情況,因而歸納是立足於觀察、經驗和實驗的基礎之上;
*歸納是立足於觀察、經驗、實驗和對有限資料分析的基礎上,提出帶有規律性的結論。
ⅲ步驟:
*對有限的資料進行觀察、分析、歸納整理;
*提出帶有規律性的結論,即猜想;
*檢驗猜想。
②類比推理:
ⅰ定義:由兩類對象具有類似和其中一類對象的某些已知特徵,推出另一類對象也具有這些特徵的推理,稱爲類比推理,簡稱類比。
ⅱ特點:
*類比是從人們已經掌握了的事物的屬性,推測正在研究的事物的屬性,是以舊有的認識爲基礎,類比出新的結果;
*類比是從一種事物的特殊屬性推測另一種事物的特殊屬性;
*類比的結果是猜測性的不一定可靠,單它卻有發現的功能,證明範文《高中數學推理與證明》。
ⅲ步驟:
*找出兩類對象之間可以確切表述的相似特徵;
*用一類對象的已知特徵去推測另一類對象的特徵,從而得出一個猜想;
*檢驗猜想。
(2)演繹推理:
①定義:從一般的原理出發,推出某個特殊情況下的結論,這種推理叫演繹推理。
②演繹推理是由一般到特殊的推理;
③“三段論”是演繹推理的一般模式,包括:
大前提——已知的一般結論;
小前提——所研究的特殊情況;
結 論——根據一般原理,對特殊情況得出的判斷。
④“三段論”推理的依據,用集合的觀點來理解:
若集合M的所有元素都具有性質P,S是M的一個子集,那麼S中所有元素也都具有性質P。
(3)合情推理與演繹推理的區別與聯繫:
①歸納是由特殊到一般的推理;
②類比是由特殊到特殊的推理;
③演繹推理是由一般到特殊的推理.
④從推理的結論來看,合情推理的結論不一定正確,有待證明;演繹推理得到的結論一定正確。
⑤演繹推理是證明數學結論、建立數學體系的.重要思維過程;而數學結論、證明思路的發現,主要靠合情推理.
2、證明:
(1)直接證明:
①綜合法:利用已知條件和某些數學定義、定理、公理等,經過一系列的推理論證,最後推匯出所要證明的結論成立,這種證明方法叫做綜合法。綜合法又叫順推法,其特點是:“由因導果”。
②分析法:從要證明的結論出發,逐步尋求使它成立的充分條件,直至最後,把要證明的結論歸結爲判定一個明顯成立的條件(已知條件、定義、定理、公理等),這種證明的方法叫分析法。分析法又叫逆推證法,其特點是:“執果索因”。
③數學歸納法:
ⅰ數學歸納法公理:
如果①當n取第一個值
(例如
等)時結論正確;
②假設當
時結論正確,證明當n=k+1時結論也正確;
那麼,命題對於從
開始的所有正整數n都成立。
ⅱ說明:
*數學歸納法的兩個步驟缺一不可,用數學歸納法證明問題時必須嚴格按步驟進行;
*數學歸納法公理是證明有關自然數命題的依據。
(2)間接證明(反證法、歸謬法):假設原命題不成立,經過正確的推理,最後得出矛盾,因此說明假設錯誤,從而證明原命題成立,這種證明方法叫反證法。
用反證法證明一個命題常採用以下步驟:
①假定命題的結論不成立;
②進行推理,在推理中出現下列情況之一:與已知條件矛盾;與公理或定理矛盾;
③由於上述矛盾的出現,可以斷言,原來的假定“結論不成立”是錯誤的;
④肯定原來命題的結論是正確的。
即“反設——歸謬——結論”。
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